与えられた微分方程式 $\frac{dy}{dx} = \frac{1}{1+x^2}$ の一般解 $y$ を求める問題です。

1. 問題の内容

与えられた微分方程式 $\frac{dy}{dx} = \frac{1}{1+x^2}$ の一般解 $y$ を求める問題です。

2. 解き方の手順

微分方程式 $\frac{dy}{dx} = \frac{1}{1+x^2}$ を解くには、両辺を $x$ について積分します。

すなわち、

$\int \frac{dy}{dx} dx = \int \frac{1}{1+x^2} dx$

左辺は $y$ となります。

$y = \int \frac{1}{1+x^2} dx$

右辺は $\arctan(x)$ の不定積分です。

$y = \arctan(x) + C$

ここで $C$ は積分定数です。

3. 最終的な答え

$y = \arctan(x) + C$