方程式 $2^x - 3x = 0$ が、区間 $3 < x < 4$ に少なくとも1つの実数解を持つことを示す問題です。

1. 問題の内容

方程式 $2^x - 3x = 0$ が、区間 $3 < x < 4$ に少なくとも1つの実数解を持つことを示す問題です。

2. 解き方の手順

中間値の定理を利用します。

1. 関数 $f(x) = 2^x - 3x$ を定義します。

2. $f(3)$ と $f(4)$ の値を計算します。

3. $f(3)$ と $f(4)$ の符号が異なることを示します。

4. 中間値の定理より、$3 < x < 4$ の範囲に $f(x) = 0$ となる実数 $x$ が少なくとも1つ存在することが結論付けられます。

具体的に計算します。

$f(x) = 2^x - 3x$

$f(3) = 2^3 - 3(3) = 8 - 9 = -1$

$f(4) = 2^4 - 3(4) = 16 - 12 = 4$

$f(3) = -1 < 0$ であり、$f(4) = 4 > 0$ であるため、$f(3)$ と $f(4)$ は符号が異なります。

$f(x)$ は連続関数であるため、中間値の定理より、$3 < x < 4$ の範囲に $f(x) = 0$ となる実数 $x$ が少なくとも1つ存在します。

3. 最終的な答え

$f(3) = -1 < 0$、 $f(4) = 4 > 0$ であり、$f(x)$は連続関数であるから、中間値の定理より、方程式 $2^x - 3x = 0$ は $3 < x < 4$ の範囲に少なくとも1つの実数解を持つ。