(1) $\lim_{x \to -\infty} \frac{2^x - 2^{-x}}{2^x + 2^{-x}}$ を求める。 (2) $\lim_{x \to \infty} \{\log_2(x^2 + 4) - \log_2(2x^2)\}$ を求める。

1. 問題の内容

(1) $\lim_{x \to -\infty} \frac{2^x - 2^{-x}}{2^x + 2^{-x}}$ を求める。

(2) $\lim_{x \to \infty} \{\log_2(x^2 + 4) - \log_2(2x^2)\}$ を求める。

2. 解き方の手順

(1)

分子と分母を $2^x$ で割ると、

$$\frac{2^x - 2^{-x}}{2^x + 2^{-x}} = \frac{1 - 2^{-2x}}{1 + 2^{-2x}}$$

$x \to -\infty$ のとき、$-2x \to \infty$ であるから、 $2^{-2x} \to \infty$。よって

$$\lim_{x \to -\infty} \frac{1 - 2^{-2x}}{1 + 2^{-2x}} = \lim_{x \to -\infty} \frac{2^{2x} - 1}{2^{2x} + 1}$$

ここで、分子と分母を $2^{-x}$ で割ると、

$$\frac{2^x - 2^{-x}}{2^x + 2^{-x}} = \frac{2^{2x} - 1}{2^{2x} + 1}$$

$x \to -\infty$ のとき、$2^{2x} \to 0$ であるから、

$$\lim_{x \to -\infty} \frac{2^{2x} - 1}{2^{2x} + 1} = \frac{0 - 1}{0 + 1} = -1$$

(2)

対数の性質より、

$$\log_2(x^2 + 4) - \log_2(2x^2) = \log_2 \left( \frac{x^2 + 4}{2x^2} \right)$$

ここで、

$$\frac{x^2 + 4}{2x^2} = \frac{1 + \frac{4}{x^2}}{2}$$

$x \to \infty$ のとき、$\frac{4}{x^2} \to 0$ であるから、

$$\lim_{x \to \infty} \frac{1 + \frac{4}{x^2}}{2} = \frac{1 + 0}{2} = \frac{1}{2}$$

よって、

$$\lim_{x \to \infty} \{\log_2(x^2 + 4) - \log_2(2x^2)\} = \lim_{x \to \infty} \log_2 \left( \frac{x^2 + 4}{2x^2} \right) = \log_2 \left( \frac{1}{2} \right) = -1$$

3. 最終的な答え

(1) -1

(2) -1