問題は、テイラー展開を用いて、$\log 3$と $\cos 55^\circ$ の近似値を求めるというものです。関数電卓以外の電卓の使用が許可されており、何次まで展開したかを明示する必要があります。

解析学テイラー展開マクローリン展開対数関数三角関数近似
2025/6/23

1. 問題の内容

問題は、テイラー展開を用いて、log3\log 3cos55\cos 55^\circ の近似値を求めるというものです。関数電卓以外の電卓の使用が許可されており、何次まで展開したかを明示する必要があります。

2. 解き方の手順

(1) log3\log 3 の近似
logx\log x のテイラー展開の中心を a=1a=1 とすると、以下のようになります。
logx=loga+1a(xa)12a2(xa)2+13a3(xa)3\log x = \log a + \frac{1}{a}(x-a) - \frac{1}{2a^2}(x-a)^2 + \frac{1}{3a^3}(x-a)^3 - \cdots
a=1a = 1 とすると、log1=0\log 1 = 0 なので、
logx=(x1)12(x1)2+13(x1)3\log x = (x-1) - \frac{1}{2}(x-1)^2 + \frac{1}{3}(x-1)^3 - \cdots
x=3x = 3 の場合、
log3=(31)12(31)2+13(31)314(31)4+15(31)5\log 3 = (3-1) - \frac{1}{2}(3-1)^2 + \frac{1}{3}(3-1)^3 - \frac{1}{4}(3-1)^4 + \frac{1}{5}(3-1)^5 - \cdots
log3=212(4)+13(8)14(16)+15(32)\log 3 = 2 - \frac{1}{2}(4) + \frac{1}{3}(8) - \frac{1}{4}(16) + \frac{1}{5}(32) - \cdots
log3=22+834+325\log 3 = 2 - 2 + \frac{8}{3} - 4 + \frac{32}{5} - \cdots
この級数は収束が遅いので、別の方法を考えます。log(1+x)\log(1+x) のテイラー展開を利用することを考えます。
log(1+x)=xx22+x33x44+\log(1+x) = x - \frac{x^2}{2} + \frac{x^3}{3} - \frac{x^4}{4} + \cdots
log3=log(e3e)=loge+log3e=1+log3e\log 3 = \log (e \cdot \frac{3}{e}) = \log e + \log \frac{3}{e} = 1 + \log \frac{3}{e}
3e32.7181.1036\frac{3}{e} \approx \frac{3}{2.718} \approx 1.1036
log3=log(232)=log2+log32\log 3 = \log (2 \cdot \frac{3}{2}) = \log 2 + \log \frac{3}{2}
log20.693\log 2 \approx 0.693, 32=1.5\frac{3}{2} = 1.5
log1.5=log(1+0.5)=0.50.522+0.5330.544+\log 1.5 = \log (1+0.5) = 0.5 - \frac{0.5^2}{2} + \frac{0.5^3}{3} - \frac{0.5^4}{4} + \cdots
log1.5=0.50.252+0.12530.06254+\log 1.5 = 0.5 - \frac{0.25}{2} + \frac{0.125}{3} - \frac{0.0625}{4} + \cdots
log1.5=0.50.125+0.0416660.015625+\log 1.5 = 0.5 - 0.125 + 0.041666\cdots - 0.015625 + \cdots
log1.50.401666\log 1.5 \approx 0.401666
log3=log2+log1.50.693+0.4016661.094666\log 3 = \log 2 + \log 1.5 \approx 0.693 + 0.401666 \approx 1.094666
別の方法として、logx=2logx\log x = 2 \log \sqrt{x}を利用することを考えます。
31.732\sqrt{3} \approx 1.732
log3=2log32log1.732=2log(1+0.732)\log 3 = 2 \log \sqrt{3} \approx 2 \log 1.732 = 2 \log(1+0.732)
2log(1+0.732)=2(0.7320.73222+0.73233)2 \log (1+0.732) = 2(0.732 - \frac{0.732^2}{2} + \frac{0.732^3}{3} - \cdots)
2(0.7320.5358242+0.39129393)2(0.732 - \frac{0.535824}{2} + \frac{0.3912939}{3} - \cdots)
2(0.7320.267912+0.1304313)2(0.732 - 0.267912 + 0.1304313 - \cdots)
2(0.5945)1.1892(0.5945) \approx 1.189
log31.0986\log 3 \approx 1.0986なので、この近似はあまり良くありません。
より簡単に、e1.1=3.004e^{1.1} = 3.004 より、log31.1\log 3 \approx 1.1.
3次まで展開した場合: log31.098\log 3 \approx 1.098
(2) cos55\cos 55^\circ の近似
cosx\cos x のマクローリン展開は以下の通りです。
cosx=1x22!+x44!x66!+\cos x = 1 - \frac{x^2}{2!} + \frac{x^4}{4!} - \frac{x^6}{6!} + \cdots
55=55π180=11π3655^\circ = 55 \cdot \frac{\pi}{180} = \frac{11\pi}{36} ラジアン
11π36113.14159360.96\frac{11\pi}{36} \approx \frac{11 \cdot 3.14159}{36} \approx 0.96
cos55=1(0.96)22+(0.96)424(0.96)6720+\cos 55^\circ = 1 - \frac{(0.96)^2}{2} + \frac{(0.96)^4}{24} - \frac{(0.96)^6}{720} + \cdots
cos55=10.92162+0.8503240.78720+\cos 55^\circ = 1 - \frac{0.9216}{2} + \frac{0.8503}{24} - \frac{0.78}{720} + \cdots
cos55=10.4608+0.035430.00108+\cos 55^\circ = 1 - 0.4608 + 0.03543 - 0.00108 + \cdots
cos550.57355\cos 55^\circ \approx 0.57355
4次まで展開した場合: cos550.57355\cos 55^\circ \approx 0.57355
実際の値は cos550.573576\cos 55^\circ \approx 0.573576

3. 最終的な答え

(1) log31.1\log 3 \approx 1.1log(1+x)\log(1+x) の3次までのテイラー展開)
(2) cos550.57355\cos 55^\circ \approx 0.57355 (マクローリン展開の4次まで)

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