与えられた微分方程式の一般解を求めます。問題(5)から(7)は以下のとおりです。 (5) $y'' - \frac{3}{x} y' + \frac{3}{x^2} y = x^3$ (斉次解: $x, x^3$) (6) $y'' + \frac{1}{x} y' - \frac{1}{x^2} y = x^2 + 2x$ (斉次解: $x, \frac{1}{x}$) (7) $xy'' - (3x+1) y' + (2x+1) y = x^2 e^{3x}$ (斉次解: $e^x, (x-1)e^{2x}$)

はい、承知いたしました。以下に、与えられた微分方程式の解き方と答えを示します。ここでは、問題 (5), (6), (7) を解きます。これらの問題については、斉次解が与えられているので、それを利用して解きます。

1. 問題の内容

与えられた微分方程式の一般解を求めます。問題(5)から(7)は以下のとおりです。

(5) $y'' - \frac{3}{x} y' + \frac{3}{x^2} y = x^3$ (斉次解: $x, x^3$)

(6) $y'' + \frac{1}{x} y' - \frac{1}{x^2} y = x^2 + 2x$ (斉次解: $x, \frac{1}{x}$)

(7) $xy'' - (3x+1) y' + (2x+1) y = x^2 e^{3x}$ (斉次解: $e^x, (x-1)e^{2x}$)

2. 解き方の手順

(5)

まず、与えられた斉次解 $y_1 = x$ と $y_2 = x^3$ が線形独立であることを確認します。次に、ロンスキアンを計算します。

$W = \begin{vmatrix} x & x^3 \\ 1 & 3x^2 \end{vmatrix} = 3x^3 - x^3 = 2x^3$

次に、定数変化法を用いて特殊解 $y_p$ を求めます。

$y_p = u_1 y_1 + u_2 y_2 = u_1 x + u_2 x^3$

$u_1' = -\frac{y_2 f(x)}{W} = -\frac{x^3 \cdot x^3}{2x^3} = -\frac{x^3}{2}$

$u_2' = \frac{y_1 f(x)}{W} = \frac{x \cdot x^3}{2x^3} = \frac{x}{2}$

これを積分すると、

$u_1 = -\frac{x^4}{8}$

$u_2 = \frac{x^2}{4}$

したがって、$y_p = -\frac{x^5}{8} + \frac{x^5}{4} = \frac{x^5}{8}$

一般解は、$y = c_1 x + c_2 x^3 + \frac{x^5}{8}$

(6)

まず、与えられた斉次解 $y_1 = x$ と $y_2 = \frac{1}{x}$ が線形独立であることを確認します。次に、ロンスキアンを計算します。

$W = \begin{vmatrix} x & \frac{1}{x} \\ 1 & -\frac{1}{x^2} \end{vmatrix} = -\frac{1}{x} - \frac{1}{x} = -\frac{2}{x}$

次に、定数変化法を用いて特殊解 $y_p$ を求めます。

$y_p = u_1 y_1 + u_2 y_2 = u_1 x + u_2 \frac{1}{x}$

$u_1' = -\frac{y_2 f(x)}{W} = -\frac{\frac{1}{x} (x^2 + 2x)}{-\frac{2}{x}} = \frac{x(x+2)}{2}$

$u_2' = \frac{y_1 f(x)}{W} = \frac{x (x^2 + 2x)}{-\frac{2}{x}} = -\frac{x^2(x+2)}{2}$

これを積分すると、

$u_1 = \frac{1}{2} (\frac{x^3}{3} + x^2) = \frac{x^3}{6} + \frac{x^2}{2}$

$u_2 = -\frac{1}{2} (\frac{x^4}{4} + \frac{2x^3}{3}) = -\frac{x^4}{8} - \frac{x^3}{3}$

したがって、$y_p = (\frac{x^3}{6} + \frac{x^2}{2})x + (-\frac{x^4}{8} - \frac{x^3}{3}) \frac{1}{x} = \frac{x^4}{6} + \frac{x^3}{2} -\frac{x^3}{8} - \frac{x^2}{3} = \frac{x^4}{6} + \frac{3}{8}x^3 - \frac{x^2}{3}$

一般解は、$y = c_1 x + \frac{c_2}{x} + \frac{x^4}{6} + \frac{3}{8}x^3 - \frac{x^2}{3}$

(7)

まず、与えられた斉次解 $y_1 = e^x$ と $y_2 = (x-1)e^{2x}$ が線形独立であることを確認します。次に、ロンスキアンを計算します。

$W = \begin{vmatrix} e^x & (x-1)e^{2x} \\ e^x & e^{2x} + 2(x-1)e^{2x} \end{vmatrix} = e^x (e^{2x} + 2(x-1)e^{2x}) - (x-1)e^{2x}e^x = e^{3x} + 2(x-1)e^{3x} - (x-1)e^{3x} = e^{3x} + (x-1)e^{3x} = xe^{3x}$

次に、定数変化法を用いて特殊解 $y_p$ を求めます。ただし、与えられた微分方程式を標準形にするために、全体を $x$ で割る必要があります。すると、$f(x) = xe^{3x}$ となります。

$y_p = u_1 y_1 + u_2 y_2 = u_1 e^x + u_2 (x-1)e^{2x}$

$u_1' = -\frac{y_2 f(x)}{W} = -\frac{(x-1)e^{2x} x e^{3x}}{xe^{3x}} = -(x-1)e^{2x}$

$u_2' = \frac{y_1 f(x)}{W} = \frac{e^x x e^{3x}}{xe^{3x}} = e^x$

これを積分すると、

$u_1 = -\int (x-1)e^{2x} dx = -\frac{1}{2} (x-1)e^{2x} + \frac{1}{2} \int e^{2x} dx = -\frac{1}{2}(x-1)e^{2x} + \frac{1}{4}e^{2x} = e^{2x}(-\frac{x}{2} + \frac{1}{2} + \frac{1}{4}) = (-\frac{x}{2} + \frac{3}{4})e^{2x}$

$u_2 = \int e^x dx = e^x$

したがって、$y_p = (-\frac{x}{2} + \frac{3}{4})e^{2x} e^x + e^x (x-1)e^{2x} = (-\frac{x}{2} + \frac{3}{4})e^{3x} + (x-1)e^{3x} = (\frac{x}{2} - \frac{1}{4})e^{3x}$

一般解は、$y = c_1 e^x + c_2 (x-1)e^{2x} + (\frac{x}{2} - \frac{1}{4})e^{3x}$

3. 最終的な答え

(5) $y = c_1 x + c_2 x^3 + \frac{x^5}{8}$

(6) $y = c_1 x + \frac{c_2}{x} + \frac{x^4}{6} + \frac{3}{8}x^3 - \frac{x^2}{3}$

(7) $y = c_1 e^x + c_2 (x-1)e^{2x} + (\frac{x}{2} - \frac{1}{4})e^{3x}$