与えられた複素関数を、指定された点を中心にローラン展開し、5次以上の項まで求め、展開可能な範囲を明記する問題です。 (1) $f(z) = \frac{1}{z}$, $z=0$ (2) $f(z) = \frac{1}{z(z+1)}$, $z=0$ (3) $f(z) = \frac{z}{(z+1)(z+2)}$, $z=-1$

1. 問題の内容

与えられた複素関数を、指定された点を中心にローラン展開し、5次以上の項まで求め、展開可能な範囲を明記する問題です。

(1) $f(z) = \frac{1}{z}$, $z=0$

(2) $f(z) = \frac{1}{z(z+1)}$, $z=0$

(3) $f(z) = \frac{z}{(z+1)(z+2)}$, $z=-1$

2. 解き方の手順

(1) $f(z) = \frac{1}{z}$, $z=0$

これはすでにローラン展開されています。

$f(z) = \frac{1}{z}$

展開可能範囲は $0 < |z| < \infty$

(2) $f(z) = \frac{1}{z(z+1)}$, $z=0$

部分分数分解を行います。

$\frac{1}{z(z+1)} = \frac{A}{z} + \frac{B}{z+1}$

$1 = A(z+1) + Bz$

$z = 0$ のとき $1 = A$

$z = -1$ のとき $1 = -B$ より $B = -1$

$f(z) = \frac{1}{z} - \frac{1}{z+1}$

$\frac{1}{z+1} = \frac{1}{1+z} = \sum_{n=0}^{\infty} (-z)^n = 1 - z + z^2 - z^3 + z^4 - z^5 + \dots$ ($|z| < 1$)

$f(z) = \frac{1}{z} - (1 - z + z^2 - z^3 + z^4 - z^5 + \dots)$

$f(z) = \frac{1}{z} - 1 + z - z^2 + z^3 - z^4 + z^5 + \dots$

展開可能範囲は $0 < |z| < 1$

(3) $f(z) = \frac{z}{(z+1)(z+2)}$, $z=-1$

$w = z + 1$ とおくと、$z = w - 1$

$f(w) = \frac{w-1}{w(w+1)} = \frac{w-1}{w(w+1)}$

部分分数分解を行います。

$\frac{w-1}{w(w+1)} = \frac{A}{w} + \frac{B}{w+1}$

$w - 1 = A(w+1) + Bw$

$w = 0$ のとき $-1 = A$

$w = -1$ のとき $-2 = -B$ より $B = 2$

$f(w) = -\frac{1}{w} + \frac{2}{w+1}$

$f(w) = -\frac{1}{w} + \frac{2}{1+w} = -\frac{1}{w} + 2\sum_{n=0}^{\infty} (-w)^n = -\frac{1}{w} + 2(1 - w + w^2 - w^3 + w^4 - w^5 + \dots)$

$f(z) = -\frac{1}{z+1} + 2(1 - (z+1) + (z+1)^2 - (z+1)^3 + (z+1)^4 - (z+1)^5 + \dots)$

展開可能範囲は $0 < |z+1| < 1$

3. 最終的な答え

(1) $f(z) = \frac{1}{z}$, $0 < |z| < \infty$

(2) $f(z) = \frac{1}{z} - 1 + z - z^2 + z^3 - z^4 + z^5 + \dots$, $0 < |z| < 1$

(3) $f(z) = -\frac{1}{z+1} + 2 - 2(z+1) + 2(z+1)^2 - 2(z+1)^3 + 2(z+1)^4 - 2(z+1)^5 + \dots$, $0 < |z+1| < 1$