与えられた3つの関数 $f(x)$ が $x=0$ で連続であるかどうかを調べます。ここで $[x]$ はガウス記号（$x$を超えない最大の整数）を表します。

1. 問題の内容

与えられた3つの関数 $f(x)$ が $x=0$ で連続であるかどうかを調べます。ここで $[x]$ はガウス記号（$x$を超えない最大の整数）を表します。

2. 解き方の手順

関数 $f(x)$ が $x=0$ で連続であるためには、以下の3つの条件が満たされる必要があります。

1. $f(0)$ が定義されている。

2. $\lim_{x \to 0} f(x)$ が存在する。

3. $\lim_{x \to 0} f(x) = f(0)$ が成り立つ。

各関数について、上記の条件を確認します。

(1) $f(x) = x[x]$

- $f(0) = 0 \cdot [0] = 0 \cdot 0 = 0$

- $\lim_{x \to +0} x[x] = \lim_{x \to +0} x \cdot 0 = 0$

- $\lim_{x \to -0} x[x] = \lim_{x \to -0} x \cdot (-1) = 0$

- $\lim_{x \to 0} x[x] = 0$

- $\lim_{x \to 0} f(x) = f(0)$ であるので、連続である。

(2) $f(x) = (x+1)[x]$

- $f(0) = (0+1)[0] = 1 \cdot 0 = 0$

- $\lim_{x \to +0} (x+1)[x] = \lim_{x \to +0} (x+1) \cdot 0 = 1 \cdot 0 = 0$

- $\lim_{x \to -0} (x+1)[x] = \lim_{x \to -0} (x+1) \cdot (-1) = 1 \cdot (-1) = -1$

- $\lim_{x \to +0} f(x) \neq \lim_{x \to -0} f(x)$ より、$\lim_{x \to 0} f(x)$ は存在しないので、不連続である。

(3) $f(x) = \sqrt{x}$

- $f(0) = \sqrt{0} = 0$

- $x \geq 0$ で定義されるので、左側極限は存在しない。

- $\lim_{x \to +0} \sqrt{x} = 0$

- $\lim_{x \to +0} f(x) = f(0)$ であるので、連続である。

3. 最終的な答え

(1) $f(x) = x[x]$ は $x=0$ で連続である。

(2) $f(x) = (x+1)[x]$ は $x=0$ で不連続である。

(3) $f(x) = \sqrt{x}$ は $x=0$ で連続である。