曲線 $y = x^2 + x$ 上の点 (1, 1) から引かれた接線の方程式とその接点の座標を求める問題です。

1. 問題の内容

曲線 $y = x^2 + x$ 上の点 (1, 1) から引かれた接線の方程式とその接点の座標を求める問題です。

2. 解き方の手順

まず、曲線 $y = x^2 + x$ 上の任意の点 $(t, t^2 + t)$ における接線の方程式を求めます。

$y' = 2x + 1$ なので、点 $(t, t^2 + t)$ における接線の傾きは $2t + 1$ です。

したがって、接線の方程式は

$y - (t^2 + t) = (2t + 1)(x - t)$

$y = (2t + 1)x - 2t^2 - t + t^2 + t$

$y = (2t + 1)x - t^2$

となります。

この接線が点 (1, 1) を通るので、

$1 = (2t + 1)(1) - t^2$

$1 = 2t + 1 - t^2$

$t^2 - 2t = 0$

$t(t - 2) = 0$

$t = 0, 2$

(i) $t = 0$ のとき、接点は (0, 0) であり、接線の方程式は $y = (2(0) + 1)x - 0^2$ すなわち $y = x$ となります。

(ii) $t = 2$ のとき、接点は (2, 6) であり、接線の方程式は $y = (2(2) + 1)x - 2^2$ すなわち $y = 5x - 4$ となります。

3. 最終的な答え

接線の方程式が $y = x$ のとき、接点は (0, 0) です。

接線の方程式が $y = 5x - 4$ のとき、接点は (2, 6) です。