与えられた2つの関数について、第n次導関数を求める。 (1) $y = x^n$ (2) $y = e^{2x}$

1. 問題の内容

与えられた2つの関数について、第n次導関数を求める。

(1) $y = x^n$

(2) $y = e^{2x}$

2. 解き方の手順

(1) $y = x^n$ の場合

1階微分： $y' = nx^{n-1}$

2階微分： $y'' = n(n-1)x^{n-2}$

3階微分： $y''' = n(n-1)(n-2)x^{n-3}$

...

n階微分： $y^{(n)} = n(n-1)(n-2)...(n-(n-1))x^{n-n} = n!x^0 = n!$

(2) $y = e^{2x}$ の場合

1階微分： $y' = 2e^{2x}$

2階微分： $y'' = 2^2e^{2x}$

3階微分： $y''' = 2^3e^{2x}$

...

n階微分： $y^{(n)} = 2^ne^{2x}$

3. 最終的な答え

(1) $y = x^n$ のとき、第n次導関数は $y^{(n)} = n!$

(2) $y = e^{2x}$ のとき、第n次導関数は $y^{(n)} = 2^ne^{2x}$