次の関数を微分する問題です。 (1) $y = \cos 2x$ (2) $y = \sqrt{2} \sin(3x + \frac{\pi}{4})$ (3) $y = \sin^2 x$ (4) $y = \tan^2 x$ (5) $y = \frac{1}{\sin x}$ (6) $y = \cos^2 3x$

1. 問題の内容

次の関数を微分する問題です。

(1) $y = \cos 2x$

(2) $y = \sqrt{2} \sin(3x + \frac{\pi}{4})$

(3) $y = \sin^2 x$

(4) $y = \tan^2 x$

(5) $y = \frac{1}{\sin x}$

(6) $y = \cos^2 3x$

2. 解き方の手順

(1) $y = \cos 2x$

合成関数の微分法を用います。

$\frac{dy}{dx} = \frac{d}{dx}(\cos 2x) = -\sin 2x \cdot \frac{d}{dx}(2x) = -2\sin 2x$

(2) $y = \sqrt{2} \sin(3x + \frac{\pi}{4})$

合成関数の微分法を用います。

$\frac{dy}{dx} = \sqrt{2} \cos(3x + \frac{\pi}{4}) \cdot \frac{d}{dx}(3x + \frac{\pi}{4}) = 3\sqrt{2} \cos(3x + \frac{\pi}{4})$

(3) $y = \sin^2 x$

合成関数の微分法を用います。

$\frac{dy}{dx} = 2\sin x \cdot \frac{d}{dx}(\sin x) = 2\sin x \cos x = \sin 2x$

(4) $y = \tan^2 x$

合成関数の微分法を用います。

$\frac{dy}{dx} = 2\tan x \cdot \frac{d}{dx}(\tan x) = 2\tan x \cdot \frac{1}{\cos^2 x} = \frac{2\sin x}{\cos^3 x}$

(5) $y = \frac{1}{\sin x} = (\sin x)^{-1}$

合成関数の微分法を用います。

$\frac{dy}{dx} = -1(\sin x)^{-2} \cdot \frac{d}{dx}(\sin x) = -\frac{1}{\sin^2 x} \cdot \cos x = -\frac{\cos x}{\sin^2 x} = -\frac{\cos x}{\sin x} \cdot \frac{1}{\sin x} = -\cot x \csc x$

(6) $y = \cos^2 3x$

合成関数の微分法を用います。

$\frac{dy}{dx} = 2\cos 3x \cdot \frac{d}{dx}(\cos 3x) = 2\cos 3x \cdot (-\sin 3x) \cdot \frac{d}{dx}(3x) = 2\cos 3x (-\sin 3x) \cdot 3 = -6\sin 3x \cos 3x = -3\sin 6x$

3. 最終的な答え

(1) $\frac{dy}{dx} = -2\sin 2x$

(2) $\frac{dy}{dx} = 3\sqrt{2} \cos(3x + \frac{\pi}{4})$

(3) $\frac{dy}{dx} = \sin 2x$

(4) $\frac{dy}{dx} = \frac{2\sin x}{\cos^3 x}$

(5) $\frac{dy}{dx} = -\cot x \csc x$

(6) $\frac{dy}{dx} = -3\sin 6x$