曲線 $y = x^3 + 2$ 上の点から引かれた接線が、点 $(0, 18)$ を通る時の接線の方程式と接点の座標を求める問題です。

1. 問題の内容

曲線 $y = x^3 + 2$ 上の点から引かれた接線が、点 $(0, 18)$ を通る時の接線の方程式と接点の座標を求める問題です。

2. 解き方の手順

まず、接点の座標を $(t, t^3 + 2)$ とおきます。

次に、曲線の微分を計算します。

$y' = 3x^2$

接点 $(t, t^3 + 2)$ における接線の傾きは $3t^2$ となります。

したがって、接線の方程式は次のようになります。

$y - (t^3 + 2) = 3t^2(x - t)$

この接線が点 $(0, 18)$ を通るので、接線の方程式に $x = 0$, $y = 18$ を代入します。

$18 - (t^3 + 2) = 3t^2(0 - t)$

$16 - t^3 = -3t^3$

$2t^3 = -16$

$t^3 = -8$

$t = -2$

したがって、接点の座標は $(-2, (-2)^3 + 2) = (-2, -8 + 2) = (-2, -6)$ です。

接線の傾きは $3(-2)^2 = 3(4) = 12$ となります。

接線の方程式は、接点の座標 $(-2, -6)$ と傾き $12$ を用いて、次のようになります。

$y - (-6) = 12(x - (-2))$

$y + 6 = 12(x + 2)$

$y + 6 = 12x + 24$

$y = 12x + 18$

3. 最終的な答え

接線の方程式: $y = 12x + 18$

接点の座標: $(-2, -6)$