以下の3つの関数について、与えられた定義域における最大値、最小値、およびそれらをとる $x$ の値を求めます。 (1) $y = -\sin x + \cos x$, $0 \le x < 2\pi$ (2) $y = \sqrt{6} \sin x - \sqrt{2} \cos x$, $0 \le x < 2\pi$ (3) $y = \sin x + \sqrt{3} \cos x$, $0 \le x \le \pi$

1. 問題の内容

以下の3つの関数について、与えられた定義域における最大値、最小値、およびそれらをとる $x$ の値を求めます。

(1) $y = -\sin x + \cos x$, $0 \le x < 2\pi$

(2) $y = \sqrt{6} \sin x - \sqrt{2} \cos x$, $0 \le x < 2\pi$

(3) $y = \sin x + \sqrt{3} \cos x$, $0 \le x \le \pi$

2. 解き方の手順

(1) $y = -\sin x + \cos x$

三角関数の合成を行います。

$y = \sqrt{(-1)^2 + 1^2} \sin(x + \alpha) = \sqrt{2} \sin(x + \alpha)$

ただし、$\cos \alpha = -\frac{1}{\sqrt{2}}$, $\sin \alpha = \frac{1}{\sqrt{2}}$ より、$\alpha = \frac{3}{4}\pi$.

したがって、

$y = \sqrt{2} \sin(x + \frac{3}{4}\pi)$.

$0 \le x < 2\pi$ より、$\frac{3}{4}\pi \le x + \frac{3}{4}\pi < \frac{11}{4}\pi$.

最大値: $y = \sqrt{2}$

$\sin(x + \frac{3}{4}\pi) = 1$, $x + \frac{3}{4}\pi = \frac{\pi}{2} + 2n\pi$.

$x = \frac{\pi}{2} - \frac{3}{4}\pi + 2n\pi = -\frac{\pi}{4} + 2n\pi$

$x = \frac{7}{4}\pi$

最小値: $y = -\sqrt{2}$

$\sin(x + \frac{3}{4}\pi) = -1$, $x + \frac{3}{4}\pi = \frac{3\pi}{2} + 2n\pi$.

$x = \frac{3\pi}{2} - \frac{3}{4}\pi + 2n\pi = \frac{3}{4}\pi + 2n\pi$.

$x = \frac{3}{4}\pi$

(2) $y = \sqrt{6} \sin x - \sqrt{2} \cos x$

三角関数の合成を行います。

$y = \sqrt{(\sqrt{6})^2 + (-\sqrt{2})^2} \sin(x + \alpha) = \sqrt{6 + 2} \sin(x + \alpha) = \sqrt{8} \sin(x + \alpha) = 2\sqrt{2} \sin(x + \alpha)$

ただし、$\cos \alpha = \frac{\sqrt{6}}{2\sqrt{2}} = \frac{\sqrt{3}}{2}$, $\sin \alpha = \frac{-\sqrt{2}}{2\sqrt{2}} = -\frac{1}{2}$ より、$\alpha = -\frac{\pi}{6}$.

したがって、

$y = 2\sqrt{2} \sin(x - \frac{\pi}{6})$.

$0 \le x < 2\pi$ より、$-\frac{\pi}{6} \le x - \frac{\pi}{6} < \frac{11}{6}\pi$.

最大値: $y = 2\sqrt{2}$

$\sin(x - \frac{\pi}{6}) = 1$, $x - \frac{\pi}{6} = \frac{\pi}{2} + 2n\pi$.

$x = \frac{\pi}{2} + \frac{\pi}{6} + 2n\pi = \frac{4\pi}{6} = \frac{2}{3}\pi + 2n\pi$

$x = \frac{2}{3}\pi$

最小値: $y = -2\sqrt{2}$

$\sin(x - \frac{\pi}{6}) = -1$, $x - \frac{\pi}{6} = \frac{3\pi}{2} + 2n\pi$.

$x = \frac{3\pi}{2} + \frac{\pi}{6} + 2n\pi = \frac{10\pi}{6} = \frac{5}{3}\pi + 2n\pi$.

$x = \frac{5}{3}\pi$

(3) $y = \sin x + \sqrt{3} \cos x$

三角関数の合成を行います。

$y = \sqrt{1^2 + (\sqrt{3})^2} \sin(x + \alpha) = \sqrt{1+3} \sin(x + \alpha) = 2 \sin(x + \alpha)$

ただし、$\cos \alpha = \frac{1}{2}$, $\sin \alpha = \frac{\sqrt{3}}{2}$ より、$\alpha = \frac{\pi}{3}$.

したがって、

$y = 2 \sin(x + \frac{\pi}{3})$.

$0 \le x \le \pi$ より、$\frac{\pi}{3} \le x + \frac{\pi}{3} \le \frac{4}{3}\pi$.

最大値: $y = 2$

$\sin(x + \frac{\pi}{3}) = 1$, $x + \frac{\pi}{3} = \frac{\pi}{2} + 2n\pi$.

$x = \frac{\pi}{2} - \frac{\pi}{3} + 2n\pi = \frac{\pi}{6} + 2n\pi$

$x = \frac{\pi}{6}$

最小値: $y = -1$

$x + \frac{\pi}{3} = \frac{4}{3}\pi$

$x = \pi$のとき、$\sin(x+\frac{\pi}{3})=\sin(\frac{4\pi}{3})=-\frac{\sqrt{3}}{2}$ よって $y=-\sqrt{3}$

$x = 0$のとき、$\sin(x+\frac{\pi}{3})=\sin(\frac{\pi}{3})=\frac{\sqrt{3}}{2}$ よって $y=\sqrt{3}$

$x + \frac{\pi}{3} = \pi$ のとき $x=\frac{2\pi}{3}$ なので $\sin(x + \frac{\pi}{3}) = \sin(\pi) = 0$ より $y=0$

$x + \frac{\pi}{3} = \frac{\pi}{3}$ のとき $x=0$ なので $\sin(x+\frac{\pi}{3})=\sin(\frac{\pi}{3})=\frac{\sqrt{3}}{2}$ より $y=\sqrt{3}$

最小値は $x + \frac{\pi}{3} = \frac{4\pi}{3}$ のとき $x = \pi$ で $y = \sin \pi + \sqrt{3} \cos \pi = 0 - \sqrt{3} = -\sqrt{3}$ になります

3. 最終的な答え

(1) 最大値: $\sqrt{2}$ ($x = \frac{7}{4}\pi$), 最小値: $-\sqrt{2}$ ($x = \frac{3}{4}\pi$)

(2) 最大値: $2\sqrt{2}$ ($x = \frac{2}{3}\pi$), 最小値: $-2\sqrt{2}$ ($x = \frac{5}{3}\pi$)

(3) 最大値: $2$ ($x = \frac{\pi}{6}$), 最小値: $-\sqrt{3}$ ($x = \pi$)