問題13：関数 $f(x)$ が $x=0$ で連続であるように、定数 $a$ の値を定める。関数 $f(x)$ は以下のように定義されています。 $ f(x) = \begin{cases} \frac{x^2+x}{x} & (x \neq 0) \\ a & (x = 0) \end{cases} $

## 問題と解答

1. 問題の内容

問題13：関数 $f(x)$ が $x=0$ で連続であるように、定数 $a$ の値を定める。関数 $f(x)$ は以下のように定義されています。

$ f(x) = \begin{cases}

\frac{x^2+x}{x} & (x \neq 0) \\

a & (x = 0)

\end{cases} $

2. 解き方の手順

関数 $f(x)$ が $x=0$ で連続であるためには、次の条件が満たされる必要があります。

(1) $f(0)$ が定義されている（この問題では $f(0) = a$ と定義されています）。

(2) $\lim_{x \to 0} f(x)$ が存在する。

(3) $\lim_{x \to 0} f(x) = f(0)$

$x \neq 0$ のとき、 $f(x) = \frac{x^2+x}{x}$ です。 この式を簡略化すると、$f(x) = x+1$ となります。

したがって、

$\lim_{x \to 0} f(x) = \lim_{x \to 0} \frac{x^2+x}{x} = \lim_{x \to 0} (x+1) = 0+1 = 1$

$f(x)$ が $x=0$ で連続であるためには、$\lim_{x \to 0} f(x) = f(0)$ である必要があるので、

$1 = a$

3. 最終的な答え

$a = 1$