与えられた関数を微分する問題です。 (1) $y = x\sin x + \cos x$ (2) $y = x\cos x - \sin x$

1. 問題の内容

与えられた関数を微分する問題です。

(1) $y = x\sin x + \cos x$

(2) $y = x\cos x - \sin x$

2. 解き方の手順

(1) $y = x\sin x + \cos x$ を微分します。積の微分公式$(uv)' = u'v + uv'$と、$\sin x$ の微分が$\cos x$、$\cos x$ の微分が$-\sin x$ であることを利用します。

$y' = (x\sin x)' + (\cos x)'$

$y' = (x)'\sin x + x(\sin x)' + (\cos x)'$

$y' = 1\cdot\sin x + x\cos x - \sin x$

$y' = \sin x + x\cos x - \sin x$

$y' = x\cos x$

(2) $y = x\cos x - \sin x$ を微分します。積の微分公式$(uv)' = u'v + uv'$と、$\sin x$ の微分が$\cos x$、$\cos x$ の微分が$-\sin x$ であることを利用します。

$y' = (x\cos x)' - (\sin x)'$

$y' = (x)'\cos x + x(\cos x)' - (\sin x)'$

$y' = 1\cdot\cos x + x(-\sin x) - \cos x$

$y' = \cos x - x\sin x - \cos x$

$y' = -x\sin x$

3. 最終的な答え

(1) $y' = x\cos x$

(2) $y' = -x\sin x$