$x - \pi = \theta$ とおくことにより、極限 $\lim_{x \to \pi} \frac{1 + \cos x}{(x - \pi)^2}$ を求める。

1. 問題の内容

$x - \pi = \theta$ とおくことにより、極限 $\lim_{x \to \pi} \frac{1 + \cos x}{(x - \pi)^2}$ を求める。

2. 解き方の手順

まず、$x - \pi = \theta$ とおくと、$x = \theta + \pi$ となる。$x \to \pi$ のとき $\theta \to 0$ である。

したがって、求める極限は

$\lim_{\theta \to 0} \frac{1 + \cos(\theta + \pi)}{\theta^2}$

$\cos(\theta + \pi) = \cos \theta \cos \pi - \sin \theta \sin \pi = -\cos \theta$ であるから、

$\lim_{\theta \to 0} \frac{1 - \cos \theta}{\theta^2}$

ここで、$1 - \cos \theta = 2 \sin^2 \frac{\theta}{2}$ であるから、

$\lim_{\theta \to 0} \frac{2 \sin^2 \frac{\theta}{2}}{\theta^2} = \lim_{\theta \to 0} 2 \cdot \frac{\sin^2 \frac{\theta}{2}}{\theta^2} = 2 \lim_{\theta \to 0} \frac{\sin^2 \frac{\theta}{2}}{\theta^2}$

$= 2 \lim_{\theta \to 0} \frac{\sin \frac{\theta}{2}}{\theta} \cdot \frac{\sin \frac{\theta}{2}}{\theta} = 2 \lim_{\theta \to 0} \frac{1}{2} \frac{\sin \frac{\theta}{2}}{\frac{\theta}{2}} \cdot \frac{1}{2} \frac{\sin \frac{\theta}{2}}{\frac{\theta}{2}}$

$\lim_{x \to 0} \frac{\sin x}{x} = 1$ を用いると、

$= 2 \cdot \frac{1}{2} \cdot 1 \cdot \frac{1}{2} \cdot 1 = \frac{1}{2}$

3. 最終的な答え

$\frac{1}{2}$