半径 $a$ の球の表面積が $4\pi a^2$ で与えられることを示す問題です。球の方程式 $x^2 + y^2 + z^2 = a^2$ を利用して面積素 $dS$ を計算し、積分することで表面積を求めます。

1. 問題の内容

半径 $a$ の球の表面積が $4\pi a^2$ で与えられることを示す問題です。球の方程式 $x^2 + y^2 + z^2 = a^2$ を利用して面積素 $dS$ を計算し、積分することで表面積を求めます。

2. 解き方の手順

まず、球面座標系を導入します。

$x = a\sin\theta\cos\phi$

$y = a\sin\theta\sin\phi$

$z = a\cos\theta$

ここで、$0 \le \theta \le \pi$、$0 \le \phi \le 2\pi$ です。

次に、位置ベクトル $\vec{r}(\theta, \phi)$ を計算します。

$\vec{r}(\theta, \phi) = (a\sin\theta\cos\phi, a\sin\theta\sin\phi, a\cos\theta)$

$\vec{r}$ の $\theta$ と $\phi$ に関する偏微分を計算します。

$\frac{\partial \vec{r}}{\partial \theta} = (a\cos\theta\cos\phi, a\cos\theta\sin\phi, -a\sin\theta)$

$\frac{\partial \vec{r}}{\partial \phi} = (-a\sin\theta\sin\phi, a\sin\theta\cos\phi, 0)$

面積素 $dS$ は次のように計算されます。

$dS = \left| \frac{\partial \vec{r}}{\partial \theta} \times \frac{\partial \vec{r}}{\partial \phi} \right| d\theta d\phi$

外積 $\frac{\partial \vec{r}}{\partial \theta} \times \frac{\partial \vec{r}}{\partial \phi}$ を計算します。

$\frac{\partial \vec{r}}{\partial \theta} \times \frac{\partial \vec{r}}{\partial \phi} = (a^2\sin^2\theta\cos\phi, a^2\sin^2\theta\sin\phi, a^2\sin\theta\cos\theta)$

外積の大きさ $\left| \frac{\partial \vec{r}}{\partial \theta} \times \frac{\partial \vec{r}}{\partial \phi} \right|$ を計算します。

$\left| \frac{\partial \vec{r}}{\partial \theta} \times \frac{\partial \vec{r}}{\partial \phi} \right| = \sqrt{(a^2\sin^2\theta\cos\phi)^2 + (a^2\sin^2\theta\sin\phi)^2 + (a^2\sin\theta\cos\theta)^2}$

$= \sqrt{a^4\sin^4\theta(\cos^2\phi + \sin^2\phi) + a^4\sin^2\theta\cos^2\theta} = \sqrt{a^4\sin^4\theta + a^4\sin^2\theta\cos^2\theta}$

$= \sqrt{a^4\sin^2\theta(\sin^2\theta + \cos^2\theta)} = \sqrt{a^4\sin^2\theta} = a^2\sin\theta$

よって、$dS = a^2\sin\theta d\theta d\phi$ となります。

球の表面積 $S$ は、面積素 $dS$ を全範囲にわたって積分することで求められます。

$S = \int_{0}^{2\pi} \int_{0}^{\pi} a^2\sin\theta d\theta d\phi$

$= a^2 \int_{0}^{2\pi} d\phi \int_{0}^{\pi} \sin\theta d\theta$

$= a^2 (2\pi) [-\cos\theta]_{0}^{\pi} = a^2 (2\pi) (-\cos\pi + \cos0)$

$= a^2 (2\pi) (-(-1) + 1) = a^2 (2\pi) (2) = 4\pi a^2$

3. 最終的な答え

したがって、半径 $a$ の球の表面積は $4\pi a^2$ であることが示されました。