曲線 $y = x^3 - 3x^2$ 上の点 $(2, -4)$ における接線の方程式を求める。

1. 問題の内容

曲線 $y = x^3 - 3x^2$ 上の点 $(2, -4)$ における接線の方程式を求める。

2. 解き方の手順

まず、曲線の導関数を求める。

$y = x^3 - 3x^2$ を $x$ で微分すると、

$\frac{dy}{dx} = 3x^2 - 6x$

次に、$x = 2$ のときの $\frac{dy}{dx}$ の値を計算する。これは、点 $(2, -4)$ における接線の傾きを表す。

$\frac{dy}{dx}|_{x=2} = 3(2)^2 - 6(2) = 12 - 12 = 0$

したがって、接線の傾きは $0$ である。

点 $(2, -4)$ を通り、傾きが $0$ の直線の方程式は、

$y - (-4) = 0(x - 2)$

$y + 4 = 0$

$y = -4$

3. 最終的な答え

$y = -4$