$0 \leqq x \leqq \pi$ のとき、$y = \sqrt{3} \cos x + \sin x$ の最大値と最小値を求めよ。

1. 問題の内容

$0 \leqq x \leqq \pi$ のとき、$y = \sqrt{3} \cos x + \sin x$ の最大値と最小値を求めよ。

2. 解き方の手順

三角関数の合成を利用して、$y$を$r\sin(x+\alpha)$の形に変形します。

$y = \sqrt{3} \cos x + \sin x$ を変形するために、$r\sin(x+\alpha) = r(\sin x \cos \alpha + \cos x \sin \alpha) = (r \cos \alpha) \sin x + (r \sin \alpha) \cos x$ と比較します。

すると、$r \cos \alpha = 1$ かつ $r \sin \alpha = \sqrt{3}$ を満たす $r$ と $\alpha$ を見つける必要があります。

$r^2 = (r \cos \alpha)^2 + (r \sin \alpha)^2 = 1^2 + (\sqrt{3})^2 = 1 + 3 = 4$ より、$r = 2$ となります（$r>0$）。

$\cos \alpha = \frac{1}{2}$ かつ $\sin \alpha = \frac{\sqrt{3}}{2}$ より、$\alpha = \frac{\pi}{3}$ となります。

よって、$y = 2 \sin(x + \frac{\pi}{3})$ となります。

$0 \leqq x \leqq \pi$ のとき、$\frac{\pi}{3} \leqq x + \frac{\pi}{3} \leqq \frac{4\pi}{3}$ です。

この範囲で $\sin(x + \frac{\pi}{3})$ の最大値は、$x + \frac{\pi}{3} = \frac{\pi}{2}$ のとき 1 です。このとき、$x = \frac{\pi}{2} - \frac{\pi}{3} = \frac{\pi}{6}$ であり、$0 \leqq x \leqq \pi$ を満たします。したがって、$y$ の最大値は $2 \cdot 1 = 2$ です。

この範囲で $\sin(x + \frac{\pi}{3})$ の最小値は、$x + \frac{\pi}{3} = \frac{4\pi}{3}$ のとき $-\frac{\sqrt{3}}{2}$ です。このとき、$x = \pi$ であり、$0 \leqq x \leqq \pi$ を満たします。

したがって、$y$ の最小値は $2 \cdot (-\frac{\sqrt{3}}{2}) = -\sqrt{3}$ です。

3. 最終的な答え

最大値: 2

最小値: $-\sqrt{3}$