関数 $y = \frac{x-3}{x^2+1}$ の最大値と最小値を求めよ。

1. 問題の内容

関数 $y = \frac{x-3}{x^2+1}$ の最大値と最小値を求めよ。

2. 解き方の手順

まず、$y = \frac{x-3}{x^2+1}$を変形して、$x$ についての二次方程式を導出します。

$y(x^2+1) = x-3$

$yx^2 + y = x - 3$

$yx^2 - x + y + 3 = 0$

$x$ が実数であるためには、この二次方程式が実数解を持つ必要があります。

したがって、判別式 $D$ が $D \ge 0$ を満たす必要があります。

$D = (-1)^2 - 4(y)(y+3) \ge 0$

$1 - 4y^2 - 12y \ge 0$

$4y^2 + 12y - 1 \le 0$

この不等式を解くために、$4y^2 + 12y - 1 = 0$ の解を求めます。

解の公式より、

$y = \frac{-12 \pm \sqrt{12^2 - 4(4)(-1)}}{2(4)} = \frac{-12 \pm \sqrt{144 + 16}}{8} = \frac{-12 \pm \sqrt{160}}{8} = \frac{-12 \pm 4\sqrt{10}}{8} = \frac{-3 \pm \sqrt{10}}{2}$

したがって、$4y^2 + 12y - 1 \le 0$ の解は、

$\frac{-3 - \sqrt{10}}{2} \le y \le \frac{-3 + \sqrt{10}}{2}$

よって、最大値は $y = \frac{-3 + \sqrt{10}}{2}$ であり、最小値は $y = \frac{-3 - \sqrt{10}}{2}$ です。

3. 最終的な答え

最大値: $\frac{-3 + \sqrt{10}}{2}$

最小値: $\frac{-3 - \sqrt{10}}{2}$