関数 $y = 2q - r$ について、$\frac{\partial y}{\partial q}$ と $\frac{\partial y}{\partial r}$ を求める。

## 問題1 (1)

1. 問題の内容

関数 $y = 2q - r$ について、$\frac{\partial y}{\partial q}$ と $\frac{\partial y}{\partial r}$ を求める。

2. 解き方の手順

偏微分は、特定の変数以外を定数とみなして微分する。

* $y$ を $q$ で偏微分するとき、$r$ は定数とみなす。

$\frac{\partial y}{\partial q} = \frac{\partial}{\partial q}(2q - r) = 2$

* $y$ を $r$ で偏微分するとき、$q$ は定数とみなす。

$\frac{\partial y}{\partial r} = \frac{\partial}{\partial r}(2q - r) = -1$

3. 最終的な答え

$\frac{\partial y}{\partial q} = 2$

$\frac{\partial y}{\partial r} = -1$

## 問題1 (2)

1. 問題の内容

関数 $z = 3x^3y^2 - \frac{1}{2}xy$ について、$\frac{\partial z}{\partial x}$ と $\frac{\partial z}{\partial y}$ を求める。

2. 解き方の手順

* $z$ を $x$ で偏微分するとき、$y$ は定数とみなす。

$\frac{\partial z}{\partial x} = \frac{\partial}{\partial x}(3x^3y^2 - \frac{1}{2}xy) = 9x^2y^2 - \frac{1}{2}y$

* $z$ を $y$ で偏微分するとき、$x$ は定数とみなす。

$\frac{\partial z}{\partial y} = \frac{\partial}{\partial y}(3x^3y^2 - \frac{1}{2}xy) = 6x^3y - \frac{1}{2}x$

3. 最終的な答え

$\frac{\partial z}{\partial x} = 9x^2y^2 - \frac{1}{2}y$

$\frac{\partial z}{\partial y} = 6x^3y - \frac{1}{2}x$

## 問題1 (3)

1. 問題の内容

関数 $y = \frac{1}{4}p^2q - 3pq^2r - qr^2$ について、$\frac{\partial y}{\partial p}$、$\frac{\partial y}{\partial q}$、$\frac{\partial y}{\partial r}$を求める。

2. 解き方の手順

* $y$ を $p$ で偏微分するとき、$q$ と $r$ は定数とみなす。

$\frac{\partial y}{\partial p} = \frac{\partial}{\partial p}(\frac{1}{4}p^2q - 3pq^2r - qr^2) = \frac{1}{2}pq - 3q^2r$

* $y$ を $q$ で偏微分するとき、$p$ と $r$ は定数とみなす。

$\frac{\partial y}{\partial q} = \frac{\partial}{\partial q}(\frac{1}{4}p^2q - 3pq^2r - qr^2) = \frac{1}{4}p^2 - 6pqr - r^2$

* $y$ を $r$ で偏微分するとき、$p$ と $q$ は定数とみなす。

$\frac{\partial y}{\partial r} = \frac{\partial}{\partial r}(\frac{1}{4}p^2q - 3pq^2r - qr^2) = -3pq^2 - 2qr$

3. 最終的な答え

$\frac{\partial y}{\partial p} = \frac{1}{2}pq - 3q^2r$

$\frac{\partial y}{\partial q} = \frac{1}{4}p^2 - 6pqr - r^2$

$\frac{\partial y}{\partial r} = -3pq^2 - 2qr$