与えられた3つの2重積分の値を計算します。それぞれ積分領域が異なることに注意してください。 (4) $\iint_{D_4} x \, dx \, dy$, $D_4 = \{(x, y) \,|\, \frac{1}{2} \le x^2 + y^2 \le 1\}$ (5) $\iint_{D_5} y \, dx \, dy$, $D_5 = \{(x, y) \,|\, 0 \le x^2 + y^2 \le 1, x \le 0, y \ge 0\}$ (6) $\iint_{D_6} y \, dx \, dy$, $D_6 = \{(x, y) \,|\, 0 \le x^2 + y^2 \le 2x\}$

1. 問題の内容

与えられた3つの2重積分の値を計算します。それぞれ積分領域が異なることに注意してください。

(4) $\iint_{D_4} x \, dx \, dy$, $D_4 = \{(x, y) \,|\, \frac{1}{2} \le x^2 + y^2 \le 1\}$

(5) $\iint_{D_5} y \, dx \, dy$, $D_5 = \{(x, y) \,|\, 0 \le x^2 + y^2 \le 1, x \le 0, y \ge 0\}$

(6) $\iint_{D_6} y \, dx \, dy$, $D_6 = \{(x, y) \,|\, 0 \le x^2 + y^2 \le 2x\}$

2. 解き方の手順

(4) 極座標変換 $x = r\cos\theta, y = r\sin\theta$ を用います。

$D_4$ は $\frac{1}{2} \le r^2 \le 1$ より $\frac{1}{\sqrt{2}} \le r \le 1$, $0 \le \theta \le 2\pi$ となります。

ヤコビアンは $r$ なので、

$\iint_{D_4} x \, dx \, dy = \int_0^{2\pi} \int_{\frac{1}{\sqrt{2}}}^1 r\cos\theta \cdot r \, dr \, d\theta = \int_0^{2\pi} \cos\theta \, d\theta \int_{\frac{1}{\sqrt{2}}}^1 r^2 \, dr$

$\int_0^{2\pi} \cos\theta \, d\theta = [\sin\theta]_0^{2\pi} = \sin(2\pi) - \sin(0) = 0$

よって $\iint_{D_4} x \, dx \, dy = 0$

(5) 極座標変換 $x = r\cos\theta, y = r\sin\theta$ を用います。

$D_5$ は $0 \le r^2 \le 1$ より $0 \le r \le 1$, $x \le 0, y \ge 0$ より $\frac{\pi}{2} \le \theta \le \pi$ となります。

$\iint_{D_5} y \, dx \, dy = \int_{\frac{\pi}{2}}^\pi \int_0^1 r\sin\theta \cdot r \, dr \, d\theta = \int_{\frac{\pi}{2}}^\pi \sin\theta \, d\theta \int_0^1 r^2 \, dr$

$\int_{\frac{\pi}{2}}^\pi \sin\theta \, d\theta = [-\cos\theta]_{\frac{\pi}{2}}^\pi = -\cos(\pi) + \cos(\frac{\pi}{2}) = -(-1) + 0 = 1$

$\int_0^1 r^2 \, dr = [\frac{1}{3}r^3]_0^1 = \frac{1}{3}$

よって $\iint_{D_5} y \, dx \, dy = 1 \cdot \frac{1}{3} = \frac{1}{3}$

(6) 極座標変換 $x = r\cos\theta, y = r\sin\theta$ を用います。

$D_6$ は $0 \le x^2 + y^2 \le 2x$ より $0 \le r^2 \le 2r\cos\theta$ つまり $0 \le r \le 2\cos\theta$。

$0 \le r \le 2\cos\theta$ より $\cos\theta \ge 0$。よって $-\frac{\pi}{2} \le \theta \le \frac{\pi}{2}$

$\iint_{D_6} y \, dx \, dy = \int_{-\frac{\pi}{2}}^{\frac{\pi}{2}} \int_0^{2\cos\theta} r\sin\theta \cdot r \, dr \, d\theta = \int_{-\frac{\pi}{2}}^{\frac{\pi}{2}} \sin\theta \int_0^{2\cos\theta} r^2 \, dr \, d\theta$

$\int_0^{2\cos\theta} r^2 \, dr = [\frac{1}{3}r^3]_0^{2\cos\theta} = \frac{8}{3}\cos^3\theta$

$\iint_{D_6} y \, dx \, dy = \frac{8}{3} \int_{-\frac{\pi}{2}}^{\frac{\pi}{2}} \sin\theta \cos^3\theta \, d\theta$

$u = \cos\theta$ とおくと $du = -\sin\theta \, d\theta$。$\theta = -\frac{\pi}{2}$ のとき $u=0$, $\theta = \frac{\pi}{2}$ のとき $u=0$。

$\frac{8}{3} \int_{-\frac{\pi}{2}}^{\frac{\pi}{2}} \sin\theta \cos^3\theta \, d\theta = -\frac{8}{3} \int_0^0 u^3 \, du = 0$

よって $\iint_{D_6} y \, dx \, dy = 0$

3. 最終的な答え

(4) 0

(5) $\frac{1}{3}$

(6) 0