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与えられた関数 $f(x, y)$ について、2階偏導関数 $f_{xx}$ と $f_{yy}$、および交差偏導関数 $f_{xy}$ と $f_{yx}$ を求め、$f_{xy} = f_{yx}$ となることを確認します。具体的には、以下の３つの関数について計算を行います。 (1) $f(x,y) = xy^2 - 3xy^2$ (2) $f(x,y) = \frac{2}{3}x^3y - \frac{1}{4}xy^2$ (3) $f(x,y) = x^4y - x^3y$

解析学偏微分偏導関数多変数関数
2025/6/23

1. 問題の内容

与えられた関数 f(x,y)f(x, y) について、2階偏導関数 fxxf_{xx} と fyyf_{yy}、および交差偏導関数 fxyf_{xy} と fyxf_{yx} を求め、fxy=fyxf_{xy} = f_{yx} となることを確認します。具体的には、以下の３つの関数について計算を行います。
(1) f(x,y)=xy2−3xy2f(x,y) = xy^2 - 3xy^2
(2) f(x,y)=23x3y−14xy2f(x,y) = \frac{2}{3}x^3y - \frac{1}{4}xy^2
(3) f(x,y)=x4y−x3yf(x,y) = x^4y - x^3y

2. 解き方の手順

各関数に対して、以下の手順で偏導関数を計算します。
* fx=∂f∂xf_x = \frac{\partial f}{\partial x} を計算する。
* fy=∂f∂yf_y = \frac{\partial f}{\partial y} を計算する。
* fxx=∂2f∂x2=∂∂x(∂f∂x)f_{xx} = \frac{\partial^2 f}{\partial x^2} = \frac{\partial}{\partial x}(\frac{\partial f}{\partial x}) を計算する。
* fyy=∂2f∂y2=∂∂y(∂f∂y)f_{yy} = \frac{\partial^2 f}{\partial y^2} = \frac{\partial}{\partial y}(\frac{\partial f}{\partial y}) を計算する。
* fxy=∂2f∂y∂x=∂∂y(∂f∂x)f_{xy} = \frac{\partial^2 f}{\partial y \partial x} = \frac{\partial}{\partial y}(\frac{\partial f}{\partial x}) を計算する。
* fyx=∂2f∂x∂y=∂∂x(∂f∂y)f_{yx} = \frac{\partial^2 f}{\partial x \partial y} = \frac{\partial}{\partial x}(\frac{\partial f}{\partial y}) を計算する。
最後に、fxyf_{xy} と fyxf_{yx} が等しいことを確認します。
(1) f(x,y)=xy2−3xy2=−2xy2f(x,y) = xy^2 - 3xy^2 = -2xy^2
* fx=−2y2f_x = -2y^2
* fy=−4xyf_y = -4xy
* fxx=0f_{xx} = 0
* fyy=−4xf_{yy} = -4x
* fxy=−4yf_{xy} = -4y
* fyx=−4yf_{yx} = -4y
(2) f(x,y)=23x3y−14xy2f(x,y) = \frac{2}{3}x^3y - \frac{1}{4}xy^2
* fx=2x2y−14y2f_x = 2x^2y - \frac{1}{4}y^2
* fy=23x3−12xyf_y = \frac{2}{3}x^3 - \frac{1}{2}xy
* fxx=4xyf_{xx} = 4xy
* fyy=−12xf_{yy} = -\frac{1}{2}x
* fxy=2x2−12yf_{xy} = 2x^2 - \frac{1}{2}y
* fyx=2x2−12yf_{yx} = 2x^2 - \frac{1}{2}y
(3) f(x,y)=x4y−x3yf(x,y) = x^4y - x^3y
* fx=4x3y−3x2yf_x = 4x^3y - 3x^2y
* fy=x4−x3f_y = x^4 - x^3
* fxx=12x2y−6xyf_{xx} = 12x^2y - 6xy
* fyy=0f_{yy} = 0
* fxy=4x3−3x2f_{xy} = 4x^3 - 3x^2
* fyx=4x3−3x2f_{yx} = 4x^3 - 3x^2

3. 最終的な答え

(1) f(x,y)=xy2−3xy2=−2xy2f(x,y) = xy^2 - 3xy^2 = -2xy^2
fxx=0f_{xx} = 0, fyy=−4xf_{yy} = -4x, fxy=−4yf_{xy} = -4y, fyx=−4yf_{yx} = -4y
(2) f(x,y)=23x3y−14xy2f(x,y) = \frac{2}{3}x^3y - \frac{1}{4}xy^2
fxx=4xyf_{xx} = 4xy, fyy=−12xf_{yy} = -\frac{1}{2}x, fxy=2x2−12yf_{xy} = 2x^2 - \frac{1}{2}y, fyx=2x2−12yf_{yx} = 2x^2 - \frac{1}{2}y
(3) f(x,y)=x4y−x3yf(x,y) = x^4y - x^3y
fxx=12x2y−6xyf_{xx} = 12x^2y - 6xy, fyy=0f_{yy} = 0, fxy=4x3−3x2f_{xy} = 4x^3 - 3x^2, fyx=4x3−3x2f_{yx} = 4x^3 - 3x^2

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