二重積分 $\iint_{D_1} (x+y+2)e^{-(x-y)} dxdy$ の値を求める問題です。積分領域 $D_1$ は、$0 \le x+y \le 1$ かつ $0 \le x-y \le 1$ で定義されています。

1. 問題の内容

二重積分 $\iint_{D_1} (x+y+2)e^{-(x-y)} dxdy$ の値を求める問題です。積分領域 $D_1$ は、$0 \le x+y \le 1$ かつ $0 \le x-y \le 1$ で定義されています。

2. 解き方の手順

まず、変数変換を行います。

$u = x+y$

$v = x-y$

とおくと、

$x = \frac{u+v}{2}$

$y = \frac{u-v}{2}$

となります。

次に、ヤコビアンを計算します。

$\frac{\partial(x,y)}{\partial(u,v)} = \begin{vmatrix} \frac{\partial x}{\partial u} & \frac{\partial x}{\partial v} \\ \frac{\partial y}{\partial u} & \frac{\partial y}{\partial v} \end{vmatrix} = \begin{vmatrix} \frac{1}{2} & \frac{1}{2} \\ \frac{1}{2} & -\frac{1}{2} \end{vmatrix} = -\frac{1}{4} - \frac{1}{4} = -\frac{1}{2}$

したがって、ヤコビアンの絶対値は $\left| \frac{\partial(x,y)}{\partial(u,v)} \right| = \frac{1}{2}$ です。

積分領域は $0 \le u \le 1$ かつ $0 \le v \le 1$ となります。

被積分関数を $u$ と $v$ で表します。

$x+y+2 = u+2$

$e^{-(x-y)} = e^{-v}$

よって、

$\iint_{D_1} (x+y+2)e^{-(x-y)} dxdy = \int_{0}^{1} \int_{0}^{1} (u+2)e^{-v} \left| \frac{\partial(x,y)}{\partial(u,v)} \right| dudv = \int_{0}^{1} \int_{0}^{1} (u+2)e^{-v} \frac{1}{2} dudv$

積分を計算します。

$\int_{0}^{1} \int_{0}^{1} (u+2)e^{-v} \frac{1}{2} dudv = \frac{1}{2} \int_{0}^{1} e^{-v} dv \int_{0}^{1} (u+2) du$

$\int_{0}^{1} e^{-v} dv = [-e^{-v}]_{0}^{1} = -e^{-1} - (-e^{0}) = 1 - e^{-1} = 1 - \frac{1}{e}$

$\int_{0}^{1} (u+2) du = [\frac{1}{2}u^2 + 2u]_{0}^{1} = \frac{1}{2} + 2 = \frac{5}{2}$

よって、

$\frac{1}{2} \int_{0}^{1} e^{-v} dv \int_{0}^{1} (u+2) du = \frac{1}{2} (1-\frac{1}{e}) (\frac{5}{2}) = \frac{5}{4} (1-\frac{1}{e}) = \frac{5}{4} - \frac{5}{4e}$

3. 最終的な答え

$\frac{5}{4} - \frac{5}{4e}$