与えられた微分方程式 $\frac{dy}{dx} = 2xy$ の一般解を求める。

1. 問題の内容

与えられた微分方程式 $\frac{dy}{dx} = 2xy$ の一般解を求める。

2. 解き方の手順

これは変数分離形の微分方程式であるので、以下のように解く。

まず、$y$を左辺に、$x$を右辺に集める。

$\frac{dy}{y} = 2x dx$

次に、両辺を積分する。

$\int \frac{dy}{y} = \int 2x dx$

左辺の積分は $\ln|y|$ 、右辺の積分は $x^2$ である。したがって、

$\ln|y| = x^2 + C_1$

ここで、$C_1$は積分定数である。次に、両辺の指数を取る。

$e^{\ln|y|} = e^{x^2 + C_1}$

$|y| = e^{x^2}e^{C_1}$

$y = \pm e^{C_1}e^{x^2}$

$C = \pm e^{C_1}$ とおくと、

$y = Ce^{x^2}$

ここで、$C$は任意定数である。

3. 最終的な答え

$y = Ce^{x^2}$