$0 \leqq \theta \leqq \pi$ のとき、関数 $f(\theta) = 2\sin(\theta+\frac{\pi}{6}) - 4\cos\theta - \sqrt{6}$ について、以下の問いに答えます。 (1) 加法定理や三角関数の合成を用いて、$f(\theta)$ を $\sin\theta$ だけを用いた式に変形します。 (2) (1) のとき、$f(\theta)$ の最大値と最小値を求め、そのときの $\theta$ の値を求めます。

1. 問題の内容

$0 \leqq \theta \leqq \pi$ のとき、関数 $f(\theta) = 2\sin(\theta+\frac{\pi}{6}) - 4\cos\theta - \sqrt{6}$ について、以下の問いに答えます。

(1) 加法定理や三角関数の合成を用いて、$f(\theta)$ を $\sin\theta$ だけを用いた式に変形します。

(2) (1) のとき、$f(\theta)$ の最大値と最小値を求め、そのときの $\theta$ の値を求めます。

2. 解き方の手順

(1) まず、$f(\theta)$ を加法定理を用いて展開します。

$f(\theta) = 2(\sin\theta \cos\frac{\pi}{6} + \cos\theta \sin\frac{\pi}{6}) - 4\cos\theta - \sqrt{6}$

$f(\theta) = 2(\sin\theta \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} + \cos\theta \cdot \frac{1}{2}) - 4\cos\theta - \sqrt{6}$

$f(\theta) = \sqrt{3}\sin\theta + \cos\theta - 4\cos\theta - \sqrt{6}$

$f(\theta) = \sqrt{3}\sin\theta - 3\cos\theta - \sqrt{6}$

次に、$\sqrt{3}\sin\theta - 3\cos\theta$ を三角関数の合成で変形します。

$A = \sqrt{(\sqrt{3})^2 + (-3)^2} = \sqrt{3+9} = \sqrt{12} = 2\sqrt{3}$

$\sqrt{3}\sin\theta - 3\cos\theta = 2\sqrt{3}(\frac{\sqrt{3}}{2\sqrt{3}}\sin\theta - \frac{3}{2\sqrt{3}}\cos\theta)$

$\sqrt{3}\sin\theta - 3\cos\theta = 2\sqrt{3}(\frac{1}{2}\sin\theta - \frac{\sqrt{3}}{2}\cos\theta)$

$\sqrt{3}\sin\theta - 3\cos\theta = 2\sqrt{3}(\sin\theta\cos(-\frac{\pi}{3}) + \cos\theta\sin(-\frac{\pi}{3}))$

$\sqrt{3}\sin\theta - 3\cos\theta = 2\sqrt{3}\sin(\theta - \frac{\pi}{3})$

したがって、

$f(\theta) = 2\sqrt{3}\sin(\theta - \frac{\pi}{3}) - \sqrt{6}$

(2) $0 \leqq \theta \leqq \pi$ より、$-\frac{\pi}{3} \leqq \theta - \frac{\pi}{3} \leqq \frac{2\pi}{3}$

この範囲で $\sin(\theta - \frac{\pi}{3})$ の最大値は 1 ($\theta - \frac{\pi}{3} = \frac{\pi}{2}$ のとき、$\theta = \frac{5\pi}{6}$), 最小値は $-\frac{\sqrt{3}}{2}$ ($\theta - \frac{\pi}{3} = -\frac{\pi}{3}$ のとき、$\theta = 0$)

したがって、

$f(\theta)$ の最大値は $2\sqrt{3} \cdot 1 - \sqrt{6} = 2\sqrt{3} - \sqrt{6}$ ($\theta = \frac{5\pi}{6}$)

$f(\theta)$ の最小値は $2\sqrt{3} \cdot (-\frac{\sqrt{3}}{2}) - \sqrt{6} = -3 - \sqrt{6}$ ($\theta = 0$)

3. 最終的な答え

(1) $f(\theta) = 2\sqrt{3}\sin(\theta - \frac{\pi}{3}) - \sqrt{6}$

(2) 最大値：$2\sqrt{3} - \sqrt{6}$ ($\theta = \frac{5\pi}{6}$)、最小値：$-3 - \sqrt{6}$ ($\theta = 0$)