次の極限値を求めよ。 $\lim_{x \to \infty} \frac{3^{x-1} + 4^{x+1}}{3^{x+1} + 4^{x-1}}$

1. 問題の内容

次の極限値を求めよ。

$\lim_{x \to \infty} \frac{3^{x-1} + 4^{x+1}}{3^{x+1} + 4^{x-1}}$

2. 解き方の手順

$x \to \infty$の極限を求める問題なので、指数関数のうち底が大きいもので割ることを考えます。この場合、底が4の指数関数の方が底が3の指数関数よりも大きいので、$4^x$で分子と分母を割ります。

$\lim_{x \to \infty} \frac{3^{x-1} + 4^{x+1}}{3^{x+1} + 4^{x-1}} = \lim_{x \to \infty} \frac{\frac{3^{x-1}}{4^x} + \frac{4^{x+1}}{4^x}}{\frac{3^{x+1}}{4^x} + \frac{4^{x-1}}{4^x}}$

指数法則を用いて式を整理します。

$= \lim_{x \to \infty} \frac{\frac{1}{3}(\frac{3}{4})^x + 4(\frac{4}{4})^x}{3(\frac{3}{4})^x + \frac{1}{4}(\frac{4}{4})^x} = \lim_{x \to \infty} \frac{\frac{1}{3}(\frac{3}{4})^x + 4}{3(\frac{3}{4})^x + \frac{1}{4}}$

$\frac{3}{4} < 1$なので、$x \to \infty$のとき$(\frac{3}{4})^x \to 0$となります。

$= \frac{\frac{1}{3} \cdot 0 + 4}{3 \cdot 0 + \frac{1}{4}} = \frac{4}{\frac{1}{4}} = 4 \cdot 4 = 16$

3. 最終的な答え

16