与えられた微分方程式 $\frac{dy}{dx} = e^{-5x} + \frac{1}{x}$ の一般解 $y$ を求める問題です。

1. 問題の内容

与えられた微分方程式 $\frac{dy}{dx} = e^{-5x} + \frac{1}{x}$ の一般解 $y$ を求める問題です。

2. 解き方の手順

微分方程式 $\frac{dy}{dx} = e^{-5x} + \frac{1}{x}$ を解くために、両辺を $x$ で積分します。

$\int \frac{dy}{dx} \, dx = \int (e^{-5x} + \frac{1}{x}) \, dx$

左辺は $y$ になります。右辺はそれぞれの項を積分します。

$\int e^{-5x} \, dx = -\frac{1}{5}e^{-5x} + C_1$

$\int \frac{1}{x} \, dx = \log |x| + C_2$

したがって、

$y = \int e^{-5x} \, dx + \int \frac{1}{x} \, dx = -\frac{1}{5}e^{-5x} + \log |x| + C$

ここで、$C = C_1 + C_2$ は積分定数です。

3. 最終的な答え

$y = -\frac{1}{5}e^{-5x} + \log |x| + C$