与えられた微分方程式 $1 - \frac{dy}{dx} = y^2$ の一般解を求める問題です。

1. 問題の内容

与えられた微分方程式 $1 - \frac{dy}{dx} = y^2$ の一般解を求める問題です。

2. 解き方の手順

まず、微分方程式を $\frac{dy}{dx}$ について解きます。

$1 - \frac{dy}{dx} = y^2$

$\frac{dy}{dx} = 1 - y^2$

次に、変数分離を行います。

$\frac{dy}{1 - y^2} = dx$

両辺を積分します。

$\int \frac{dy}{1 - y^2} = \int dx$

左辺の積分は、部分分数分解を用いて計算します。

$\frac{1}{1 - y^2} = \frac{1}{(1 - y)(1 + y)} = \frac{A}{1 - y} + \frac{B}{1 + y}$

$1 = A(1 + y) + B(1 - y)$

$1 = (A + B) + (A - B)y$

$A + B = 1$

$A - B = 0$

これを解くと、$A = \frac{1}{2}$, $B = \frac{1}{2}$となります。

したがって、

$\int \frac{dy}{1 - y^2} = \frac{1}{2} \int (\frac{1}{1 - y} + \frac{1}{1 + y}) dy = \frac{1}{2} (-\ln|1 - y| + \ln|1 + y|) = \frac{1}{2} \ln|\frac{1 + y}{1 - y}|$

右辺の積分は、

$\int dx = x + C$ （Cは積分定数）

したがって、

$\frac{1}{2} \ln|\frac{1 + y}{1 - y}| = x + C$

$\ln|\frac{1 + y}{1 - y}| = 2x + 2C$

$\frac{1 + y}{1 - y} = e^{2x + 2C} = e^{2x} e^{2C} = Ke^{2x}$ (ここで、$K = e^{2C}$ または $K = -e^{2C}$ は定数)

$1 + y = Ke^{2x}(1 - y)$

$1 + y = Ke^{2x} - Ke^{2x} y$

$y + Ke^{2x} y = Ke^{2x} - 1$

$y(1 + Ke^{2x}) = Ke^{2x} - 1$

$y = \frac{Ke^{2x} - 1}{Ke^{2x} + 1}$

$y = \frac{Ke^{2x} + 1 - 2}{Ke^{2x} + 1}$

$y = 1 - \frac{2}{Ke^{2x} + 1}$

3. 最終的な答え

$y = \frac{Ke^{2x} - 1}{Ke^{2x} + 1}$ (Kは任意定数)