$0 \leq \theta \leq \pi$のとき、$f(\theta) = 2\sin(\theta + \frac{\pi}{6}) - 4\cos\theta - \sqrt{6}$について、加法定理や合成を用いて$f(\theta)$を$\sin\theta$だけを用いた式に変形する。

1. 問題の内容

$0 \leq \theta \leq \pi$のとき、$f(\theta) = 2\sin(\theta + \frac{\pi}{6}) - 4\cos\theta - \sqrt{6}$について、加法定理や合成を用いて$f(\theta)$を$\sin\theta$だけを用いた式に変形する。

2. 解き方の手順

まず、$\sin(\theta + \frac{\pi}{6})$を加法定理を用いて展開します。

$\sin(\theta + \frac{\pi}{6}) = \sin\theta \cos\frac{\pi}{6} + \cos\theta \sin\frac{\pi}{6} = \frac{\sqrt{3}}{2}\sin\theta + \frac{1}{2}\cos\theta$

これを$f(\theta)$に代入すると、

$f(\theta) = 2(\frac{\sqrt{3}}{2}\sin\theta + \frac{1}{2}\cos\theta) - 4\cos\theta - \sqrt{6} = \sqrt{3}\sin\theta + \cos\theta - 4\cos\theta - \sqrt{6} = \sqrt{3}\sin\theta - 3\cos\theta - \sqrt{6}$

次に、$3\cos\theta$を$\sin\theta$で表すことを考えます。これは直接的には難しいので、合成を行うことを考えます。

$f(\theta) = \sqrt{3}\sin\theta - 3\cos\theta - \sqrt{6} = A\sin(\theta + \alpha) - \sqrt{6}$の形に変形します。

ここで、$A = \sqrt{(\sqrt{3})^2 + (-3)^2} = \sqrt{3 + 9} = \sqrt{12} = 2\sqrt{3}$

よって、

$f(\theta) = 2\sqrt{3}(\frac{\sqrt{3}}{2\sqrt{3}}\sin\theta - \frac{3}{2\sqrt{3}}\cos\theta) - \sqrt{6} = 2\sqrt{3}(\frac{1}{2}\sin\theta - \frac{\sqrt{3}}{2}\cos\theta) - \sqrt{6}$

$\cos\alpha = \frac{1}{2}$、$\sin\alpha = \frac{\sqrt{3}}{2}$となる$\alpha$は$\alpha = \frac{\pi}{3}$であるから、

$f(\theta) = 2\sqrt{3}(\sin\theta\cos\frac{\pi}{3} - \cos\theta\sin\frac{\pi}{3}) - \sqrt{6} = 2\sqrt{3}\sin(\theta - \frac{\pi}{3}) - \sqrt{6}$

したがって、$f(\theta) = 2\sqrt{3}\sin(\theta - \frac{\pi}{3}) - \sqrt{6}$

3. 最終的な答え

$f(\theta) = 2\sqrt{3}\sin(\theta - \frac{\pi}{3}) - \sqrt{6}$