与えられた関数 $f(x)$ を $x=0$ のまわりでテイラー展開（マクローリン展開）し、$f(x) = \sum_{n=0}^{\infty} a_n x^n$ の形にまとめる問題です。与えられた関数は以下の通りです： (a) $f(x) = \log(1 - x)$ (b) $f(x) = \frac{1}{1 + x^2}$ (c) $f(x) = \arctan x$ (d) $f(x) = \cosh x$ (e) $f(x) = \sinh x$ (f) $f(x) = \log \frac{1 + x}{1 - x}$

1. 問題の内容

与えられた関数 $f(x)$ を $x=0$ のまわりでテイラー展開（マクローリン展開）し、$f(x) = \sum_{n=0}^{\infty} a_n x^n$ の形にまとめる問題です。与えられた関数は以下の通りです：

(a) $f(x) = \log(1 - x)$

(b) $f(x) = \frac{1}{1 + x^2}$

(c) $f(x) = \arctan x$

(d) $f(x) = \cosh x$

(e) $f(x) = \sinh x$

(f) $f(x) = \log \frac{1 + x}{1 - x}$

2. 解き方の手順

各関数について、マクローリン展開を求めます。

(a) $f(x) = \log(1 - x)$

$\log(1+x)$ のマクローリン展開は $\sum_{n=1}^{\infty} \frac{(-1)^{n-1}}{n} x^n$ なので、$x$ を $-x$ で置き換えると、

$\log(1-x) = \sum_{n=1}^{\infty} \frac{(-1)^{n-1}}{n} (-x)^n = \sum_{n=1}^{\infty} \frac{(-1)^{2n-1}}{n} x^n = \sum_{n=1}^{\infty} \frac{-1}{n} x^n = -\sum_{n=1}^{\infty} \frac{x^n}{n}$

となります。

(b) $f(x) = \frac{1}{1 + x^2}$

$\frac{1}{1-x}$ のマクローリン展開は $\sum_{n=0}^{\infty} x^n$ なので、$x$ を $-x^2$ で置き換えると、

$\frac{1}{1 + x^2} = \frac{1}{1 - (-x^2)} = \sum_{n=0}^{\infty} (-x^2)^n = \sum_{n=0}^{\infty} (-1)^n x^{2n}$

となります。

(c) $f(x) = \arctan x$

$\arctan x$ の微分は $\frac{1}{1 + x^2}$ なので、(b) の結果を利用します。

$\arctan x = \int \frac{1}{1 + x^2} dx = \int \sum_{n=0}^{\infty} (-1)^n x^{2n} dx = \sum_{n=0}^{\infty} (-1)^n \int x^{2n} dx = \sum_{n=0}^{\infty} (-1)^n \frac{x^{2n+1}}{2n+1} + C$

$x=0$ のとき $\arctan 0 = 0$ なので、$C=0$。

$\arctan x = \sum_{n=0}^{\infty} \frac{(-1)^n}{2n+1} x^{2n+1}$

となります。

(d) $f(x) = \cosh x$

$\cosh x = \frac{e^x + e^{-x}}{2}$ であり、$e^x = \sum_{n=0}^{\infty} \frac{x^n}{n!}$ なので、

$\cosh x = \frac{1}{2} \left( \sum_{n=0}^{\infty} \frac{x^n}{n!} + \sum_{n=0}^{\infty} \frac{(-x)^n}{n!} \right) = \frac{1}{2} \sum_{n=0}^{\infty} \frac{x^n + (-x)^n}{n!} = \sum_{n=0}^{\infty} \frac{x^{2n}}{(2n)!}$

となります。

(e) $f(x) = \sinh x$

$\sinh x = \frac{e^x - e^{-x}}{2}$ であり、$e^x = \sum_{n=0}^{\infty} \frac{x^n}{n!}$ なので、

$\sinh x = \frac{1}{2} \left( \sum_{n=0}^{\infty} \frac{x^n}{n!} - \sum_{n=0}^{\infty} \frac{(-x)^n}{n!} \right) = \frac{1}{2} \sum_{n=0}^{\infty} \frac{x^n - (-x)^n}{n!} = \sum_{n=0}^{\infty} \frac{x^{2n+1}}{(2n+1)!}$

となります。

(f) $f(x) = \log \frac{1 + x}{1 - x} = \log (1+x) - \log (1-x)$

$\log(1+x) = \sum_{n=1}^{\infty} \frac{(-1)^{n-1}}{n} x^n$ であり、(a) の結果より $\log(1-x) = -\sum_{n=1}^{\infty} \frac{x^n}{n}$ なので、

$\log \frac{1+x}{1-x} = \sum_{n=1}^{\infty} \frac{(-1)^{n-1}}{n} x^n - \left(-\sum_{n=1}^{\infty} \frac{x^n}{n} \right) = \sum_{n=1}^{\infty} \frac{(-1)^{n-1} + 1}{n} x^n$

$n$ が奇数のとき $(-1)^{n-1} + 1 = 2$ であり、$n$ が偶数のとき $(-1)^{n-1} + 1 = 0$ なので、

$\log \frac{1+x}{1-x} = \sum_{n=0}^{\infty} \frac{2}{2n+1} x^{2n+1} = 2\sum_{n=0}^{\infty} \frac{x^{2n+1}}{2n+1}$

となります。

3. 最終的な答え

(a) $f(x) = \log(1 - x) = -\sum_{n=1}^{\infty} \frac{x^n}{n}$

(b) $f(x) = \frac{1}{1 + x^2} = \sum_{n=0}^{\infty} (-1)^n x^{2n}$

(c) $f(x) = \arctan x = \sum_{n=0}^{\infty} \frac{(-1)^n}{2n+1} x^{2n+1}$

(d) $f(x) = \cosh x = \sum_{n=0}^{\infty} \frac{x^{2n}}{(2n)!}$

(e) $f(x) = \sinh x = \sum_{n=0}^{\infty} \frac{x^{2n+1}}{(2n+1)!}$

(f) $f(x) = \log \frac{1 + x}{1 - x} = 2\sum_{n=0}^{\infty} \frac{x^{2n+1}}{2n+1}$