不等式 $\sin x (\sin x - 1 + \sqrt{3} \cos x) \ge 0$ を解く問題です。この不等式は、$\sin x \ge 0$ かつ $\sin x + \sqrt{3} \cos x \ge 1$、または $\sin x \le 0$ かつ $\sin x + \sqrt{3} \cos x \le 1$ と同値です。さらに、$\sin x + \sqrt{3} \cos x = 2 \sin(x + \frac{\pi}{3})$ であることを用いて問題を解きます。

1. 問題の内容

不等式 $\sin x (\sin x - 1 + \sqrt{3} \cos x) \ge 0$ を解く問題です。この不等式は、$\sin x \ge 0$ かつ $\sin x + \sqrt{3} \cos x \ge 1$、または $\sin x \le 0$ かつ $\sin x + \sqrt{3} \cos x \le 1$ と同値です。さらに、$\sin x + \sqrt{3} \cos x = 2 \sin(x + \frac{\pi}{3})$ であることを用いて問題を解きます。

2. 解き方の手順

(1) $\sin x \ge 0$ かつ $2 \sin(x + \frac{\pi}{3}) \ge 1$ の場合

$\sin x \ge 0$ より $0 \le x \le \pi$ です。

$2 \sin(x + \frac{\pi}{3}) \ge 1$ より $\sin(x + \frac{\pi}{3}) \ge \frac{1}{2}$ です。

$0 \le x < 2\pi$ より $\frac{\pi}{3} \le x + \frac{\pi}{3} < 2\pi + \frac{\pi}{3}$ です。

$\sin(x + \frac{\pi}{3}) \ge \frac{1}{2}$ を満たす $x + \frac{\pi}{3}$ の範囲は $\frac{\pi}{6} \le x + \frac{\pi}{3} \le \frac{5\pi}{6}$ です。

よって $\frac{\pi}{6} - \frac{\pi}{3} \le x \le \frac{5\pi}{6} - \frac{\pi}{3}$ より $-\frac{\pi}{6} \le x \le \frac{\pi}{2}$ となります。

また、$2\pi + \frac{\pi}{6} \le x + \frac{\pi}{3} \le 2\pi + \frac{5\pi}{6}$ のとき、$2\pi - \frac{\pi}{6} \le x \le 2\pi + \frac{\pi}{2}$ となりますが、これは条件 $0 \le x < 2\pi$ を満たさないので考慮しません。

したがって $0 \le x \le \frac{\pi}{2}$ となります。

(2) $\sin x \le 0$ かつ $2 \sin(x + \frac{\pi}{3}) \le 1$ の場合

$\sin x \le 0$ より $\pi \le x < 2\pi$ です。

$2 \sin(x + \frac{\pi}{3}) \le 1$ より $\sin(x + \frac{\pi}{3}) \le \frac{1}{2}$ です。

$\sin(x + \frac{\pi}{3}) \le \frac{1}{2}$ を満たす $x + \frac{\pi}{3}$ の範囲は $0 \le x + \frac{\pi}{3} \le \frac{\pi}{6}$ および $\frac{5\pi}{6} \le x + \frac{\pi}{3} \le 2\pi$ です。

$x$ の範囲は $x + \frac{\pi}{3} \le \frac{\pi}{6}$ より $x \le - \frac{\pi}{6}$ となり、これは条件 $0 \le x < 2\pi$ を満たさないので考慮しません。

$\frac{5\pi}{6} \le x + \frac{\pi}{3} \le 2\pi + \frac{\pi}{6}$ より $\frac{5\pi}{6} - \frac{\pi}{3} \le x \le 2\pi - \frac{\pi}{3}$ となり、$\frac{\pi}{2} \le x \le \frac{5\pi}{3}$ となります。

$2\pi + \frac{5\pi}{6} \le x + \frac{\pi}{3} \le 4\pi$ より $x + \frac{\pi}{3} \ge \frac{17\pi}{6}$ なので $x \ge \frac{5\pi}{2}$ となり、$x < 2\pi$ と矛盾します。

したがって $\pi \le x \le \frac{11\pi}{6}$ となります。

(3) (1)と(2)の結果を合わせると $0 \le x \le \frac{\pi}{2}$ または $\pi \le x \le \frac{11\pi}{6}$ となります。

3. 最終的な答え

$0 \le x \le \frac{\pi}{2}$, $\pi \le x \le \frac{11\pi}{6}$