問題は、曲線 $y = 4 - x^2$ と直線 $y = 1$ で囲まれた部分を $y$ 軸の周りに回転させてできる立体の体積 $V$ を求めることです。

1. 問題の内容

問題は、曲線 $y = 4 - x^2$ と直線 $y = 1$ で囲まれた部分を $y$ 軸の周りに回転させてできる立体の体積 $V$ を求めることです。

2. 解き方の手順

まず、曲線と直線の交点を求めます。$y = 4 - x^2$ と $y = 1$ を連立して解くと、

$1 = 4 - x^2$

$x^2 = 3$

$x = \pm \sqrt{3}$

回転体の体積を求めるには、円盤法を使用します。$y$ 軸回転なので、$x$ を $y$ の関数として表す必要があります。曲線 $y = 4 - x^2$ を $x$ について解くと、$x^2 = 4 - y$ となります。$x$ の積分範囲は $-\sqrt{3}$ から $\sqrt{3}$ までですが、$x^2$ は偶関数なので、積分範囲を $0$ から $\sqrt{3}$ までとして、結果を2倍します。

回転体の体積 $V$ は、

$V = \pi \int_{1}^{4} x^2 dy$

$x^2 = 4 - y$ なので、

$V = \pi \int_{1}^{4} (4 - y) dy$

積分を実行します。

$V = \pi [4y - \frac{1}{2}y^2]_{1}^{4}$

$V = \pi [(4(4) - \frac{1}{2}(4)^2) - (4(1) - \frac{1}{2}(1)^2)]$

$V = \pi [(16 - 8) - (4 - \frac{1}{2})]$

$V = \pi [8 - \frac{7}{2}]$

$V = \pi [\frac{16}{2} - \frac{7}{2}]$

$V = \pi \frac{9}{2}$

$V = \frac{9}{2}\pi$

3. 最終的な答え

$V = \frac{9}{2}\pi$