関数 $f(x) = \log x$ を区間 $[1, e]$ で考える。平均値の定理から、$f'(c) = \frac{f(e) - f(1)}{e-1} = \frac{1}{e-1}$ となる $1 < c < e$ が存在する。この $c$ の値を求める。選択肢の中から正しいものを選ぶ。

1. 問題の内容

関数 $f(x) = \log x$ を区間 $[1, e]$ で考える。平均値の定理から、$f'(c) = \frac{f(e) - f(1)}{e-1} = \frac{1}{e-1}$ となる $1 < c < e$ が存在する。この $c$ の値を求める。選択肢の中から正しいものを選ぶ。

2. 解き方の手順

まず、$f(x) = \log x$ の導関数 $f'(x)$ を求める。

$f'(x) = \frac{1}{x}$

平均値の定理より、

$f'(c) = \frac{1}{c} = \frac{1}{e-1}$

したがって、$c = e-1$ となる。

選択肢を確認すると、$c = e-1$ は選択肢 (2) にある。

また、$1 < c < e$ の範囲を確認すると、

$1 < e - 1 < e$

$2 < e < e + 1$

$e \approx 2.718$ であるから、$2 < 2.718 < 3.718$ となり、条件を満たしている。

3. 最終的な答え

(2) $e-1$