与えられた関数のグラフの概形を描く問題です。今回は、(3) $y=x - \cos x$ (ただし、$0 \le x \le 2\pi$)のグラフの概形を求めます。

1. 問題の内容

与えられた関数のグラフの概形を描く問題です。今回は、(3) $y=x - \cos x$ (ただし、$0 \le x \le 2\pi$)のグラフの概形を求めます。

2. 解き方の手順

グラフを描く前に、以下の点を考慮します。

(1) 定義域・値域

(2) 対称性・周期性

(3) $f'(x)$

(4) $f''(x)$による変曲点（凹凸）

(5) 特別な点の調査（例：極値、x軸との交点）

(6) 漸近線（あれば）

(7) 不連続な点・微分可能でない点

与えられた関数は $y = x - \cos x$ ($0 \le x \le 2\pi$) です。

(1) 定義域は $0 \le x \le 2\pi$。値域を求めるには、増減を調べる必要があります。

(2) 対称性：$f(-x) = -x - \cos(-x) = -x - \cos x$。$f(-x) \neq f(x)$ かつ $f(-x) \neq -f(x)$なので、偶関数でも奇関数でもありません。周期性：三角関数が含まれていますが、$x$の項があるため、周期関数ではありません。

(3) 導関数を求めます。

$y' = 1 + \sin x$

$y' = 0$となるのは、$\sin x = -1$ のとき。すなわち、$x = \frac{3\pi}{2}$ 。

$0 < x < \frac{3\pi}{2}$で$y' > 0$ 、$\frac{3\pi}{2} < x < 2\pi$で$y' > 0$。従って、$x = \frac{3\pi}{2}$で極値は持ちません。

(4) 2階導関数を求めます。

$y'' = \cos x$

$y'' = 0$となるのは、$\cos x = 0$のとき。すなわち、$x = \frac{\pi}{2}, \frac{3\pi}{2}$。

$0 < x < \frac{\pi}{2}$で$y'' > 0$（下に凸）、$\frac{\pi}{2} < x < \frac{3\pi}{2}$で$y'' < 0$（上に凸）、$\frac{3\pi}{2} < x < 2\pi$で$y'' > 0$（下に凸）。

したがって、$x = \frac{\pi}{2}, \frac{3\pi}{2}$は変曲点です。

変曲点における$y$の値を求めます。

$x = \frac{\pi}{2}$のとき、$y = \frac{\pi}{2} - \cos \frac{\pi}{2} = \frac{\pi}{2}$

$x = \frac{3\pi}{2}$のとき、$y = \frac{3\pi}{2} - \cos \frac{3\pi}{2} = \frac{3\pi}{2}$

(5) $x = 0$のとき、$y = 0 - \cos 0 = -1$

$x = 2\pi$のとき、$y = 2\pi - \cos 2\pi = 2\pi - 1$

(6) 漸近線はありません。

(7) 不連続な点、微分可能でない点はありません。

これらの情報からグラフの概形を描きます。

3. 最終的な答え

グラフの概形は以下のようになります。

- $x=0$のとき、$y=-1$

- $x=2\pi$のとき、$y=2\pi -1$

- $x=\frac{\pi}{2}$のとき、$y=\frac{\pi}{2}$ (変曲点)

- $x=\frac{3\pi}{2}$のとき、$y=\frac{3\pi}{2}$ (変曲点)

- $y' = 1 + \sin x \ge 0$ なので、常に増加関数

- $0 < x < \frac{\pi}{2}$で下に凸

- $\frac{\pi}{2} < x < \frac{3\pi}{2}$で上に凸

- $\frac{3\pi}{2} < x < 2\pi$で下に凸