次の関数の最大値、最小値を求め、そのグラフを描く問題です。 (1) $y = \sin x - \cos x$ (2) $y = -\sqrt{3} \sin x + 3 \cos x$

1. 問題の内容

次の関数の最大値、最小値を求め、そのグラフを描く問題です。

(1) $y = \sin x - \cos x$

(2) $y = -\sqrt{3} \sin x + 3 \cos x$

2. 解き方の手順

(1)

三角関数の合成を行います。

$y = \sin x - \cos x = \sqrt{1^2 + (-1)^2} \sin(x + \alpha) = \sqrt{2} \sin(x + \alpha)$

ここで、$\cos \alpha = \frac{1}{\sqrt{2}}$、$\sin \alpha = -\frac{1}{\sqrt{2}}$なので、$\alpha = -\frac{\pi}{4}$。

したがって、$y = \sqrt{2} \sin(x - \frac{\pi}{4})$。

$\sin$ の最大値は $1$、最小値は $-1$なので、

最大値は$\sqrt{2}$、最小値は$-\sqrt{2}$。

グラフは、$y = \sin x$のグラフを$x$軸方向に$\frac{\pi}{4}$だけ平行移動し、$y$軸方向に$\sqrt{2}$倍したものです。

(2)

三角関数の合成を行います。

$y = -\sqrt{3} \sin x + 3 \cos x = \sqrt{(-\sqrt{3})^2 + 3^2} \sin(x + \alpha) = \sqrt{3 + 9} \sin(x + \alpha) = \sqrt{12} \sin(x + \alpha) = 2\sqrt{3} \sin(x + \alpha)$

ここで、$\cos \alpha = \frac{3}{2\sqrt{3}} = \frac{\sqrt{3}}{2}$、$\sin \alpha = \frac{-\sqrt{3}}{2\sqrt{3}} = -\frac{1}{2}$なので、$\alpha = -\frac{\pi}{6}$。

したがって、$y = 2\sqrt{3} \sin(x - \frac{\pi}{6})$。

$\sin$ の最大値は $1$、最小値は $-1$なので、

最大値は$2\sqrt{3}$、最小値は$-2\sqrt{3}$。

グラフは、$y = \sin x$のグラフを$x$軸方向に$\frac{\pi}{6}$だけ平行移動し、$y$軸方向に$2\sqrt{3}$倍したものです。

3. 最終的な答え

(1)

最大値: $\sqrt{2}$

最小値: $-\sqrt{2}$

(2)

最大値: $2\sqrt{3}$

最小値: $-2\sqrt{3}$