定積分 $\int_{0}^{\pi} \sin^3 \theta \cos \theta d\theta$ を計算し、その結果に $\frac{8}{3}$ を掛けた値を求めよ。

1. 問題の内容

定積分 $\int_{0}^{\pi} \sin^3 \theta \cos \theta d\theta$ を計算し、その結果に $\frac{8}{3}$ を掛けた値を求めよ。

2. 解き方の手順

まず、積分 $\int \sin^3 \theta \cos \theta d\theta$ を求める。

$u = \sin \theta$ と置換すると、$du = \cos \theta d\theta$ となる。

したがって、

$\int \sin^3 \theta \cos \theta d\theta = \int u^3 du = \frac{1}{4}u^4 + C = \frac{1}{4}\sin^4 \theta + C$

定積分を計算する。

$\int_{0}^{\pi} \sin^3 \theta \cos \theta d\theta = \left[\frac{1}{4}\sin^4 \theta\right]_0^{\pi} = \frac{1}{4}(\sin^4 \pi - \sin^4 0) = \frac{1}{4}(0 - 0) = 0$

最後に、計算結果に $\frac{8}{3}$ を掛ける。

$\frac{8}{3} \int_{0}^{\pi} \sin^3 \theta \cos \theta d\theta = \frac{8}{3} \cdot 0 = 0$

3. 最終的な答え

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