与えられた2つの関数を微分する問題です。 (1) $y = \frac{1}{x^2 - 1}$ (2) $y = \frac{x^2 - 5x + 6}{x + 1}$

1. 問題の内容

与えられた2つの関数を微分する問題です。

(1) $y = \frac{1}{x^2 - 1}$

(2) $y = \frac{x^2 - 5x + 6}{x + 1}$

2. 解き方の手順

(1) $y = \frac{1}{x^2 - 1}$ の微分

$y = \frac{1}{f(x)}$ の微分は $y' = -\frac{f'(x)}{[f(x)]^2}$ を使います。

$f(x) = x^2 - 1$ とすると、$f'(x) = 2x$ です。

したがって、

$y' = -\frac{2x}{(x^2 - 1)^2}$

(2) $y = \frac{x^2 - 5x + 6}{x + 1}$ の微分

$y = \frac{g(x)}{h(x)}$ の微分は $y' = \frac{g'(x)h(x) - g(x)h'(x)}{[h(x)]^2}$ を使います。

$g(x) = x^2 - 5x + 6$ とすると、$g'(x) = 2x - 5$ です。

$h(x) = x + 1$ とすると、$h'(x) = 1$ です。

したがって、

$y' = \frac{(2x - 5)(x + 1) - (x^2 - 5x + 6)(1)}{(x + 1)^2}$

$y' = \frac{2x^2 + 2x - 5x - 5 - x^2 + 5x - 6}{(x + 1)^2}$

$y' = \frac{x^2 + 2x - 11}{(x + 1)^2}$

3. 最終的な答え

(1) $y' = -\frac{2x}{(x^2 - 1)^2}$

(2) $y' = \frac{x^2 + 2x - 11}{(x + 1)^2}$