問題は、和 $S = \frac{1}{1\cdot5} + \frac{1}{5\cdot9} + \frac{1}{9\cdot13} + \dots + \frac{1}{(4n-3)(4n+1)}$ について、以下の問いに答えるものです。 (1) 恒等式 $\frac{1}{(4k-3)(4k+1)} = \frac{A}{4k-3} + \frac{B}{4k+1}$ が成り立つような $A$ と $B$ の値を求めます。 (2) 和 $S$ を求めます。

1. 問題の内容

問題は、和 $S = \frac{1}{1\cdot5} + \frac{1}{5\cdot9} + \frac{1}{9\cdot13} + \dots + \frac{1}{(4n-3)(4n+1)}$ について、以下の問いに答えるものです。

(1) 恒等式 $\frac{1}{(4k-3)(4k+1)} = \frac{A}{4k-3} + \frac{B}{4k+1}$ が成り立つような $A$ と $B$ の値を求めます。

(2) 和 $S$ を求めます。

2. 解き方の手順

(1) 恒等式を解くために、右辺を通分します。

$$\frac{A}{4k-3} + \frac{B}{4k+1} = \frac{A(4k+1) + B(4k-3)}{(4k-3)(4k+1)}$$

この式が $\frac{1}{(4k-3)(4k+1)}$ に等しいので、

$$A(4k+1) + B(4k-3) = 1$$

が任意の $k$ について成立する必要があります。

$k$ の係数について、$4A + 4B = 0$ すなわち $A + B = 0$

定数項について、$A - 3B = 1$

これらの連立方程式を解きます。

$A = -B$ を $A - 3B = 1$ に代入すると、$-B - 3B = 1$ なので $-4B = 1$ となり、$B = -\frac{1}{4}$。

したがって、$A = \frac{1}{4}$。

(2) 和 $S$ を求めるために、(1) の結果を利用します。

$$S = \sum_{k=1}^{n} \frac{1}{(4k-3)(4k+1)} = \sum_{k=1}^{n} \left( \frac{1/4}{4k-3} - \frac{1/4}{4k+1} \right) = \frac{1}{4} \sum_{k=1}^{n} \left( \frac{1}{4k-3} - \frac{1}{4k+1} \right)$$

この和は telescoping sum (隣り合う項が打ち消しあう和) なので、

$$S = \frac{1}{4} \left[ \left( \frac{1}{1} - \frac{1}{5} \right) + \left( \frac{1}{5} - \frac{1}{9} \right) + \left( \frac{1}{9} - \frac{1}{13} \right) + \dots + \left( \frac{1}{4n-3} - \frac{1}{4n+1} \right) \right]$$

$$S = \frac{1}{4} \left( 1 - \frac{1}{4n+1} \right) = \frac{1}{4} \left( \frac{4n+1-1}{4n+1} \right) = \frac{1}{4} \cdot \frac{4n}{4n+1} = \frac{n}{4n+1}$$

3. 最終的な答え

(1) $A = \frac{1}{4}$, $B = -\frac{1}{4}$

(2) $S = \frac{n}{4n+1}$