与えられた関数 $x(t)$ について、一階微分 $\frac{dx}{dt}$ と二階微分 $\frac{d^2x}{dt^2}$ を求める問題です。ここで、$a, b, c, d$ は定数です。

1. 問題の内容

与えられた関数 $x(t)$ について、一階微分 $\frac{dx}{dt}$ と二階微分 $\frac{d^2x}{dt^2}$ を求める問題です。ここで、$a, b, c, d$ は定数です。

2. 解き方の手順

(1) $x = at^2 + bt + c + \frac{d}{t}$

- 一階微分: $\frac{dx}{dt} = 2at + b - \frac{d}{t^2}$

- 二階微分: $\frac{d^2x}{dt^2} = 2a + \frac{2d}{t^3}$

(2) $x = a\sin(bt + c) + d\cos(bt + c)$

- 一階微分: $\frac{dx}{dt} = ab\cos(bt + c) - bd\sin(bt + c)$

- 二階微分: $\frac{d^2x}{dt^2} = -ab^2\sin(bt + c) - b^2d\cos(bt + c) = -b^2(a\sin(bt + c) + d\cos(bt + c)) = -b^2x$

(3) $x = ae^{bt+c} + ce^{-(bt+c)}$

- 一階微分: $\frac{dx}{dt} = abe^{bt+c} - bce^{-(bt+c)}$

- 二階微分: $\frac{d^2x}{dt^2} = ab^2e^{bt+c} + b^2ce^{-(bt+c)} = b^2(ae^{bt+c} + ce^{-(bt+c)}) = b^2x$

(4) $x = a\log(bt + c)$

- 一階微分: $\frac{dx}{dt} = \frac{ab}{bt + c}$

- 二階微分: $\frac{d^2x}{dt^2} = -\frac{ab^2}{(bt + c)^2}$

3. 最終的な答え

(1)

一階微分: $\frac{dx}{dt} = 2at + b - \frac{d}{t^2}$

二階微分: $\frac{d^2x}{dt^2} = 2a + \frac{2d}{t^3}$

(2)

一階微分: $\frac{dx}{dt} = ab\cos(bt + c) - bd\sin(bt + c)$

二階微分: $\frac{d^2x}{dt^2} = -b^2(a\sin(bt + c) + d\cos(bt + c)) = -b^2x$

(3)

一階微分: $\frac{dx}{dt} = abe^{bt+c} - bce^{-(bt+c)}$

二階微分: $\frac{d^2x}{dt^2} = b^2(ae^{bt+c} + ce^{-(bt+c)}) = b^2x$

(4)

一階微分: $\frac{dx}{dt} = \frac{ab}{bt + c}$

二階微分: $\frac{d^2x}{dt^2} = -\frac{ab^2}{(bt + c)^2}$