(1) $y = 4 - x^2$ と $y = 1$ で囲まれた部分を、$y$軸の周りに1回転させてできる回転体の体積 $V$ を求めます。 (2) $y = 1 - \sqrt{x}$, $x$軸, $y$軸で囲まれた部分を、$y$軸の周りに1回転させてできる回転体の体積 $V$ を求めます。

1. 問題の内容

(1) $y = 4 - x^2$ と $y = 1$ で囲まれた部分を、$y$軸の周りに1回転させてできる回転体の体積 $V$ を求めます。

(2) $y = 1 - \sqrt{x}$, $x$軸, $y$軸で囲まれた部分を、$y$軸の周りに1回転させてできる回転体の体積 $V$ を求めます。

2. 解き方の手順

(1) $y = 4 - x^2$ と $y = 1$ の交点の $x$ 座標を求めます。

$4 - x^2 = 1$ より、$x^2 = 3$ なので、$x = \pm \sqrt{3}$。

$y$軸回転なので、$x^2 = 4 - y$ を使います。回転体の体積 $V$ は、

$V = \pi \int_1^4 x^2 dy = \pi \int_1^4 (4 - y) dy = \pi [4y - \frac{1}{2}y^2]_1^4 = \pi [(16 - 8) - (4 - \frac{1}{2})] = \pi [8 - \frac{7}{2}] = \frac{9}{2}\pi$

(2) $y = 1 - \sqrt{x}$ を変形して、$x = (1 - y)^2$。$x$軸、$y$軸との交点を考慮すると、積分範囲は $y$ が $0$ から $1$ までとなります。回転体の体積 $V$ は、

$V = \pi \int_0^1 x^2 dy = \pi \int_0^1 (1 - y)^4 dy$。ここで、$u = 1 - y$ とすると、$du = -dy$。$y: 0 \to 1$ のとき、$u: 1 \to 0$。

$V = \pi \int_1^0 u^4 (-du) = \pi \int_0^1 u^4 du = \pi [\frac{1}{5}u^5]_0^1 = \pi (\frac{1}{5} - 0) = \frac{\pi}{5}$

3. 最終的な答え

(1) $\frac{9}{2}\pi$

(2) $\frac{\pi}{5}$