関数 $f(x) = (x-3)^2 - 5$ と $x$ 軸によって囲まれる部分の面積を求めることを考えています。 積分区間を $[-5, 5]$ とするとき、関数 $f(x)$ がプラスからマイナスに転ずるときの $x$ の値を求める必要があります。

1. 問題の内容

関数 $f(x) = (x-3)^2 - 5$ と $x$ 軸によって囲まれる部分の面積を求めることを考えています。

積分区間を $[-5, 5]$ とするとき、関数 $f(x)$ がプラスからマイナスに転ずるときの $x$ の値を求める必要があります。

2. 解き方の手順

まず、$f(x)$ がプラスからマイナスに転じる $x$ の値を求めます。これは、$f(x)$ が正から負に変わる瞬間、つまり $f(x)=0$ となる $x$ を探すことになります。

$f(x) = (x-3)^2 - 5 = 0$ を解きます。

$(x-3)^2 = 5$

$x-3 = \pm \sqrt{5}$

$x = 3 \pm \sqrt{5}$

$x = 3 + \sqrt{5} \approx 3 + 2.236 = 5.236$

$x = 3 - \sqrt{5} \approx 3 - 2.236 = 0.764$

$x = 3 + \sqrt{5}$ は積分区間 $[-5, 5]$ の外にあるので、$x = 3 - \sqrt{5}$ の近傍を調べます。

$x$ が $3 - \sqrt{5}$ より小さいとき $f(x) > 0$ 、$x$ が $3 - \sqrt{5}$ より大きいとき $f(x) < 0$ となれば、 $f(x)$ がプラスからマイナスに転じていることになります。

$f(0) = (0-3)^2 - 5 = 9 - 5 = 4 > 0$

$f(1) = (1-3)^2 - 5 = 4 - 5 = -1 < 0$

したがって、$f(x)$ は $x = 3 - \sqrt{5}$ でプラスからマイナスに転じます。

3. 最終的な答え

$3-\sqrt{5}$