画像に示された数式の空欄に当てはまる値を求めます。数式は次のとおりです。 $ \boxed{?} \int_2^0 f(x) dx + \int_0^2 f(x) dx $

1. 問題の内容

画像に示された数式の空欄に当てはまる値を求めます。数式は次のとおりです。

$\boxed{?} \int_2^0 f(x) dx + \int_0^2 f(x) dx$

2. 解き方の手順

定積分の性質を利用します。特に、積分区間の向きを反転させると、積分の符号が変わるという性質を使います。つまり、

$\int_a^b f(x) dx = - \int_b^a f(x) dx$

この性質を最初の積分に適用すると、次のようになります。

$\int_2^0 f(x) dx = - \int_0^2 f(x) dx$

したがって、与えられた数式は次のように書き換えられます。

$\boxed{?} (- \int_0^2 f(x) dx) + \int_0^2 f(x) dx$

この式が面積を求める式となるためには、最初の積分に絶対値をとる必要があります。絶対値をとる操作は、積分が負の値になる場合に、符号を反転させることに相当します。面積を正しく求めるためには、$\int_2^0 f(x) dx$にマイナスをかけて正の値にする必要があります。したがって、$\boxed{?}$ は -1 である必要があります。

$(-1) \int_2^0 f(x) dx + \int_0^2 f(x) dx = \int_0^2 f(x) dx + \int_0^2 f(x) dx$

もし、$\int_2^0 f(x) dx$が負の値をとる場合にのみ、この計算によって面積が正しく求められるということを前提とすれば、$\boxed{?}$は -1 となります。この場合、

$-\int_2^0 f(x) dx + \int_0^2 f(x) dx = \int_0^2 f(x) dx + \int_0^2 f(x) dx = 2 \int_0^2 f(x) dx$

となり、この値が面積を表すことになります。

別の考え方として、問題文にある「積分の結果がマイナスとなる区間を符号を反転させてプラスにしな」という記述から、$\int_2^0 f(x)dx$ はマイナスであることが示唆されます。つまり、$\int_2^0 f(x)dx = - \int_0^2 f(x) dx$ ですから、$(-1)\int_2^0 f(x) dx = \int_0^2 f(x) dx$　となります。

したがって、

$(-1) \int_2^0 f(x) dx + \int_0^2 f(x) dx = \int_0^2 f(x) dx + \int_0^2 f(x) dx = 2 \int_0^2 f(x) dx$

この場合も、$\boxed{?}$は -1 となります。

3. 最終的な答え

-1