関数 $f(x) = (x-1)e^{-x^2+2x}$ について、以下の問いに答える問題です。 (1) $f'(x)$ と $f''(x)$ を求める。 (2) $f'(x) = 0$ となる $x$ の値 $\alpha$ と $\beta$ (ただし $\alpha < \beta$) を求める。 (3) $x < \alpha$, $\alpha < x < \beta$, $\beta < x$ の各区間における $f(x)$ の増減と $y = f(x)$ の凹凸について、選択肢から適切なものを選ぶ。

1. 問題の内容

関数 $f(x) = (x-1)e^{-x^2+2x}$ について、以下の問いに答える問題です。

(1) $f'(x)$ と $f''(x)$ を求める。

(2) $f'(x) = 0$ となる $x$ の値 $\alpha$ と $\beta$ (ただし $\alpha < \beta$) を求める。

(3) $x < \alpha$, $\alpha < x < \beta$, $\beta < x$ の各区間における $f(x)$ の増減と $y = f(x)$ の凹凸について、選択肢から適切なものを選ぶ。

2. 解き方の手順

(1) $f'(x)$ を求める。

積の微分公式と合成関数の微分公式を用いる。

$f(x) = (x-1)e^{-x^2+2x}$

$f'(x) = (1)e^{-x^2+2x} + (x-1)e^{-x^2+2x}(-2x+2)$

$f'(x) = e^{-x^2+2x} + (x-1)(2-2x)e^{-x^2+2x}$

$f'(x) = e^{-x^2+2x} + (2x-2x^2-2+2x)e^{-x^2+2x}$

$f'(x) = e^{-x^2+2x}(1+4x-2x^2-2)$

$f'(x) = e^{-x^2+2x}(-2x^2+4x-1)$

次に、$f''(x)$ を求める。

$f''(x) = e^{-x^2+2x}(-2x+2)(-2x^2+4x-1) + e^{-x^2+2x}(-4x+4)$

$f''(x) = e^{-x^2+2x}[(-2x+2)(-2x^2+4x-1) + (-4x+4)]$

$f''(x) = e^{-x^2+2x}[4x^3 - 8x^2 + 2x - 8x^2 + 16x - 4 - 4x + 4]$

$f''(x) = e^{-x^2+2x}(4x^3 - 16x^2 + 14x)$

$f''(x) = 2xe^{-x^2+2x}(2x^2 - 8x + 7)$

(2) $f'(x) = 0$ となる $x$ の値を求める。

$f'(x) = e^{-x^2+2x}(-2x^2+4x-1) = 0$

$e^{-x^2+2x} > 0$ なので、 $-2x^2+4x-1 = 0$ を解く。

$2x^2 - 4x + 1 = 0$

$x = \frac{4 \pm \sqrt{16 - 8}}{4} = \frac{4 \pm \sqrt{8}}{4} = \frac{4 \pm 2\sqrt{2}}{4} = \frac{2 \pm \sqrt{2}}{2} = 1 \pm \frac{\sqrt{2}}{2}$

$\alpha = 1 - \frac{\sqrt{2}}{2}$, $\beta = 1 + \frac{\sqrt{2}}{2}$

(3) 各区間における $f(x)$ の増減と凹凸を調べる。

$f'(x) = e^{-x^2+2x}(-2x^2+4x-1)$ より、$f'(x)$の符号は$-2x^2+4x-1$の符号と同じ。

$x < \alpha$ のとき、$f'(x) < 0$ より、$f(x)$ は減少。

$f''(x) = 2xe^{-x^2+2x}(2x^2 - 8x + 7)$ であり、$x<\alpha$ であることを考慮すると、区間によっては$f''(x)$の符号が変わる可能性があるので検討が必要

$2x^2-8x+7=0$を解くと、$x=\frac{8\pm\sqrt{64-56}}{4}=\frac{8\pm\sqrt{8}}{4}=2\pm\frac{\sqrt{2}}{2}$

$x < \alpha = 1 - \frac{\sqrt{2}}{2}$の場合、$0 < 1 - \frac{\sqrt{2}}{2}$より、$x<0$の場合と、$0<x<1 - \frac{\sqrt{2}}{2}$の場合が考えられる。

$x < 0$ のとき、$f''(x) < 0$ より、$y=f(x)$ は下に凸。

$0 < x < \alpha = 1 - \frac{\sqrt{2}}{2}$ のとき、$2x^2 - 8x + 7 > 0$ となり、$f''(x)>0$となり$y=f(x)$は上に凸。

したがって$f(x)$は下に凸であるという選択肢も、上に凸であるという選択肢も不適

しかし、選択肢をよく見ると、「変曲点をちょうど一つもつ」という選択肢があり、これに該当する可能性がある。

よって、アは⑦。

$\alpha < x < \beta$ のとき、$f'(x) > 0$ より、$f(x)$ は増加。

$\alpha < x < \beta$ より、$1 - \frac{\sqrt{2}}{2} < x < 1 + \frac{\sqrt{2}}{2}$なので、$2x^2-8x+7<0$のとき、$2<2-\frac{\sqrt{2}}{2}<x<2+\frac{\sqrt{2}}{2}$なので、$x>0$であることに注意すると、$f''(x)<0$となり、$y=f(x)$は下に凸。

よって、イは④。

$\beta < x$ のとき、$f'(x) < 0$ より、$f(x)$ は減少。

$\beta < x$ のとき、$2x^2-8x+7>0$になる区間と、$2x^2-8x+7<0$になる区間があるため、凹凸は一概には言えない。

しかし$f(x)$は減少であることから、ウは①または②。

$x$が十分大きいとき、$f''(x)$の符号は、$2x^2-8x+7>0$より、$x>0$ならば$f''(x)$の符号は正。

3. 最終的な答え

ア: ⑦

イ: ④

ウ: ①