与えられた画像には、複数の空欄を埋める必要がある積分に関する問題が含まれています。特に、$f(x) = (x-3)^2 - 5$ と x 軸によって囲まれる部分の面積を求める方法、積分区間における関数の符号変化、絶対値を取る場合のMaximaでの積分可能性について問われています。

1. 問題の内容

与えられた画像には、複数の空欄を埋める必要がある積分に関する問題が含まれています。特に、$f(x) = (x-3)^2 - 5$ と x 軸によって囲まれる部分の面積を求める方法、積分区間における関数の符号変化、絶対値を取る場合のMaximaでの積分可能性について問われています。

2. 解き方の手順

まず、最初の空欄[1]は、$\int_0^2 f(x) dx + \int_0^2 f(x) dx$ の結果がマイナスになる場合に、符号を反転させてプラスにすることを促しています。面積が負になることはないため、そのような処理が必要であることを示唆しています。したがって、積分範囲を修正する前の処理として、積分範囲を正の範囲にする必要があり、

$\int_0^2 f(x)dx$ が負の値であることから、絶対値を取る操作が必要となります。よって、

$\int_0^2 |f(x)| dx + \int_0^2 f(x)dx$ となります。

次に、$f(x) = (x-3)^2 - 5$ の x 軸との交点を求めます。$f(x) = 0$ となる x を求めるため、以下の式を解きます。

$(x-3)^2 - 5 = 0$

$(x-3)^2 = 5$

$x-3 = \pm \sqrt{5}$

$x = 3 \pm \sqrt{5}$

したがって、x 軸との交点は $3 - \sqrt{5}$ と $3 + \sqrt{5}$ です。

関数 $f(x)$ が登録済みの場合、Maxima では「solve(f(x)=0, x);」のようにすれば簡単に答えが求まります。

積分区間を [-5, 5] とすると、関数 $f(x)$ がプラスからマイナスに転じるときの x の値は、$x = 3 - \sqrt{5}$ であることがわかります。

したがって、正しい答えを導くためには、積分範囲を $3 - \sqrt{5}$ で分割する必要があります。つまり、積分は $\int_0^{3-\sqrt{5}} f(x) dx$ と $\int_{3-\sqrt{5}}^{5} f(x) dx$ に分割します。

画像から、分割後の積分は

$\int_a^2 f(x)dx + \int_2^5 f(x)dx$ となっています。

$f(2) = (2-3)^2 - 5 = 1 - 5 = -4 < 0$ より、$a < 2$ となるaを求める必要があります。

$f(x) = (x-3)^2 - 5$ がx=2で負の値をとるので、$a=3-\sqrt{5}$

マイナスになる積分区間がある場合には、関数 $f(x)$ の絶対値をとる方法もあります。この問題の場合に、関数 $f(x)$ の絶対値をとると Maxima で積分は「できない」となります。Maxima は記号積分を行うソフトウェアなので、場合によっては絶対値を含む関数の積分を実行できないことがあります。

最後の空欄[4]は、与えられた計算の結果を求めます。

$2(2 \times \frac{5\sqrt{5}}{3} - 18) / 3 + 4 = \frac{4}{3} \times (\frac{5\sqrt{5}}{3} - 9) + 4 = \frac{20\sqrt{5}}{9} - 12 + 4 = \frac{20\sqrt{5}}{9} - 8$

3. 最終的な答え

[1]：$|f(x)|$

[2]：$3-\sqrt{5}$

[3]：$3-\sqrt{5}$

[4]：$\frac{20\sqrt{5}}{9} - 8$