与えられた関数の凹凸を調べ、変曲点を求める問題です。今回は、$y = x + \cos 2x$ ($0 < x < \pi$) について考えます。

1. 問題の内容

与えられた関数の凹凸を調べ、変曲点を求める問題です。今回は、$y = x + \cos 2x$ ($0 < x < \pi$) について考えます。

2. 解き方の手順

凹凸と変曲点を調べるためには、2階微分を計算する必要があります。

ステップ1：1階微分を計算します。

$y' = \frac{d}{dx}(x + \cos 2x) = 1 - 2\sin 2x$

ステップ2：2階微分を計算します。

$y'' = \frac{d}{dx}(1 - 2\sin 2x) = -4\cos 2x$

ステップ3：変曲点の候補を求めます。$y'' = 0$ となる $x$ を求めます。

$-4\cos 2x = 0$

$\cos 2x = 0$

$2x = \frac{\pi}{2} + n\pi$ ( $n$ は整数 )

$x = \frac{\pi}{4} + \frac{n\pi}{2}$

ステップ4：$0 < x < \pi$ の範囲にある変曲点の候補を求めます。

$n = 0$ のとき、$x = \frac{\pi}{4}$

$n = 1$ のとき、$x = \frac{\pi}{4} + \frac{\pi}{2} = \frac{3\pi}{4}$

$n = 2$ のとき、$x = \frac{\pi}{4} + \pi = \frac{5\pi}{4} > \pi$ なので範囲外。

したがって、$x = \frac{\pi}{4}$ と $x = \frac{3\pi}{4}$ が変曲点の候補となります。

ステップ5：$y''$ の符号を調べ、凹凸を判定します。

区間 $0 < x < \frac{\pi}{4}$ では、例えば $x = \frac{\pi}{8}$ を考えると、

$y'' = -4\cos \frac{\pi}{4} = -4\frac{\sqrt{2}}{2} = -2\sqrt{2} < 0$ なので、上に凸です。

区間 $\frac{\pi}{4} < x < \frac{3\pi}{4}$ では、例えば $x = \frac{\pi}{2}$ を考えると、

$y'' = -4\cos \pi = -4(-1) = 4 > 0$ なので、下に凸です。

区間 $\frac{3\pi}{4} < x < \pi$ では、例えば $x = \frac{7\pi}{8}$ を考えると、

$y'' = -4\cos \frac{7\pi}{4} = -4\frac{\sqrt{2}}{2} = -2\sqrt{2} < 0$ なので、上に凸です。

ステップ6：変曲点の $y$ 座標を求めます。

$x = \frac{\pi}{4}$ のとき、$y = \frac{\pi}{4} + \cos \frac{\pi}{2} = \frac{\pi}{4} + 0 = \frac{\pi}{4}$

$x = \frac{3\pi}{4}$ のとき、$y = \frac{3\pi}{4} + \cos \frac{3\pi}{2} = \frac{3\pi}{4} + 0 = \frac{3\pi}{4}$

3. 最終的な答え

凹凸：

$0 < x < \frac{\pi}{4}$ で上に凸

$\frac{\pi}{4} < x < \frac{3\pi}{4}$ で下に凸

$\frac{3\pi}{4} < x < \pi$ で上に凸

変曲点：

$(\frac{\pi}{4}, \frac{\pi}{4})$、$(\frac{3\pi}{4}, \frac{3\pi}{4})$