与えられた微分方程式 $m\frac{d^2x}{dt^2} = -k(x+l_0) - mg$ を解く問題です。ここで、$m, k, l_0, g$ は定数です。

1. 問題の内容

与えられた微分方程式 $m\frac{d^2x}{dt^2} = -k(x+l_0) - mg$ を解く問題です。ここで、$m, k, l_0, g$ は定数です。

2. 解き方の手順

まず、微分方程式を整理します。

$m\frac{d^2x}{dt^2} = -kx - kl_0 - mg$

$m\frac{d^2x}{dt^2} + kx = -kl_0 - mg$

次に、定数項を右辺にまとめた非同次線形2階微分方程式を解きます。

まずは同次方程式を解きます。

$m\frac{d^2x}{dt^2} + kx = 0$

特性方程式は $mr^2 + k = 0$ となります。

$r^2 = -\frac{k}{m}$

$r = \pm i\sqrt{\frac{k}{m}}$

同次方程式の一般解は、

$x_h(t) = c_1\cos(\sqrt{\frac{k}{m}}t) + c_2\sin(\sqrt{\frac{k}{m}}t)$

次に、非同次方程式の特殊解を求めます。

右辺が定数なので、$x_p = A$ (Aは定数) と仮定します。

$\frac{d^2x_p}{dt^2} = 0$

$m(0) + kA = -kl_0 - mg$

$kA = -kl_0 - mg$

$A = -l_0 - \frac{mg}{k}$

したがって特殊解は $x_p(t) = -l_0 - \frac{mg}{k}$

一般解は、同次方程式の解と特殊解の和で与えられます。

$x(t) = x_h(t) + x_p(t)$

$x(t) = c_1\cos(\sqrt{\frac{k}{m}}t) + c_2\sin(\sqrt{\frac{k}{m}}t) - l_0 - \frac{mg}{k}$

3. 最終的な答え

$x(t) = c_1\cos(\sqrt{\frac{k}{m}}t) + c_2\sin(\sqrt{\frac{k}{m}}t) - l_0 - \frac{mg}{k}$