次の3つの関数について、凹凸を調べ、変曲点を求める問題です。 (1) $y = x^4 + 2x^3 + 1$ (2) $y = x + \cos 2x$ ($0 < x < \pi$) (3) $y = xe^x$

1. 問題の内容

次の3つの関数について、凹凸を調べ、変曲点を求める問題です。

(1) $y = x^4 + 2x^3 + 1$

(2) $y = x + \cos 2x$ ($0 < x < \pi$)

(3) $y = xe^x$

2. 解き方の手順

(1) $y = x^4 + 2x^3 + 1$

まず、一階導関数と二階導関数を求めます。

$y' = 4x^3 + 6x^2$

$y'' = 12x^2 + 12x = 12x(x+1)$

次に、$y'' = 0$ となる $x$ を求めます。

$12x(x+1) = 0$ より、$x = 0, -1$

$x < -1$ のとき、$y'' > 0$ (下に凸)

$-1 < x < 0$ のとき、$y'' < 0$ (上に凸)

$x > 0$ のとき、$y'' > 0$ (下に凸)

したがって、$x = -1, 0$ で凹凸が変わるので、変曲点です。

変曲点の座標は、それぞれ $(-1, (-1)^4 + 2(-1)^3 + 1) = (-1, 0)$と$(0, 0^4 + 2(0)^3 + 1) = (0, 1)$

(2) $y = x + \cos 2x$ ($0 < x < \pi$)

まず、一階導関数と二階導関数を求めます。

$y' = 1 - 2\sin 2x$

$y'' = -4\cos 2x$

次に、$y'' = 0$ となる $x$ を $0 < x < \pi$ の範囲で求めます。

$-4\cos 2x = 0$ より、$\cos 2x = 0$

$2x = \frac{\pi}{2}, \frac{3\pi}{2}, \frac{5\pi}{2}, \frac{7\pi}{2}, \dots$

$x = \frac{\pi}{4}, \frac{3\pi}{4}$

$0 < x < \frac{\pi}{4}$ のとき、$y'' < 0$ (上に凸)

$\frac{\pi}{4} < x < \frac{3\pi}{4}$ のとき、$y'' > 0$ (下に凸)

$\frac{3\pi}{4} < x < \pi$ のとき、$y'' < 0$ (上に凸)

したがって、$x = \frac{\pi}{4}, \frac{3\pi}{4}$ で凹凸が変わるので、変曲点です。

変曲点の座標は、それぞれ$(\frac{\pi}{4}, \frac{\pi}{4} + \cos \frac{\pi}{2}) = (\frac{\pi}{4}, \frac{\pi}{4})$と$(\frac{3\pi}{4}, \frac{3\pi}{4} + \cos \frac{3\pi}{2}) = (\frac{3\pi}{4}, \frac{3\pi}{4})$

(3) $y = xe^x$

まず、一階導関数と二階導関数を求めます。

$y' = e^x + xe^x = (x+1)e^x$

$y'' = e^x + (x+1)e^x = (x+2)e^x$

次に、$y'' = 0$ となる $x$ を求めます。

$(x+2)e^x = 0$ より、$x = -2$ ($e^x > 0$なので)

$x < -2$ のとき、$y'' < 0$ (上に凸)

$x > -2$ のとき、$y'' > 0$ (下に凸)

したがって、$x = -2$ で凹凸が変わるので、変曲点です。

変曲点の座標は、それぞれ $(-2, -2e^{-2})$

3. 最終的な答え

(1) 変曲点：$(-1, 0), (0, 1)$

(2) 変曲点：$(\frac{\pi}{4}, \frac{\pi}{4}), (\frac{3\pi}{4}, \frac{3\pi}{4})$

(3) 変曲点：$(-2, -2e^{-2})$