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与えられた数列の和 $S$ を求める問題です。 $S = 1 + \frac{2}{3} + \frac{3}{3^2} + \frac{4}{3^3} + \dots + \frac{n}{3^{n-1}}$

解析学級数等比数列数列の和
2025/6/23

1. 問題の内容

与えられた数列の和 SS を求める問題です。
S=1+23+332+433+⋯+n3n−1S = 1 + \frac{2}{3} + \frac{3}{3^2} + \frac{4}{3^3} + \dots + \frac{n}{3^{n-1}}

2. 解き方の手順

まず、SS を書き下します。
S=1+23+332+433+⋯+n3n−1S = 1 + \frac{2}{3} + \frac{3}{3^2} + \frac{4}{3^3} + \dots + \frac{n}{3^{n-1}}
次に、SS に 13\frac{1}{3} をかけたものを考えます。
13S=13+232+333+⋯+n−13n−1+n3n\frac{1}{3}S = \frac{1}{3} + \frac{2}{3^2} + \frac{3}{3^3} + \dots + \frac{n-1}{3^{n-1}} + \frac{n}{3^n}
SS から 13S\frac{1}{3}S を引きます。
S−13S=1+(23−13)+(332−232)+(433−333)+⋯+(n3n−1−n−13n−1)−n3nS - \frac{1}{3}S = 1 + (\frac{2}{3} - \frac{1}{3}) + (\frac{3}{3^2} - \frac{2}{3^2}) + (\frac{4}{3^3} - \frac{3}{3^3}) + \dots + (\frac{n}{3^{n-1}} - \frac{n-1}{3^{n-1}}) - \frac{n}{3^n}
23S=1+13+132+133+⋯+13n−1−n3n\frac{2}{3}S = 1 + \frac{1}{3} + \frac{1}{3^2} + \frac{1}{3^3} + \dots + \frac{1}{3^{n-1}} - \frac{n}{3^n}
1+13+132+133+⋯+13n−11 + \frac{1}{3} + \frac{1}{3^2} + \frac{1}{3^3} + \dots + \frac{1}{3^{n-1}} は初項1、公比13\frac{1}{3}、項数nnの等比数列の和なので、
1+13+132+⋯+13n−1=1−(13)n1−13=1−(13)n23=32(1−13n)1 + \frac{1}{3} + \frac{1}{3^2} + \dots + \frac{1}{3^{n-1}} = \frac{1 - (\frac{1}{3})^n}{1 - \frac{1}{3}} = \frac{1 - (\frac{1}{3})^n}{\frac{2}{3}} = \frac{3}{2}(1 - \frac{1}{3^n})
23S=32(1−13n)−n3n\frac{2}{3}S = \frac{3}{2}(1 - \frac{1}{3^n}) - \frac{n}{3^n}
23S=32−32⋅3n−n3n=32−3+2n2⋅3n\frac{2}{3}S = \frac{3}{2} - \frac{3}{2 \cdot 3^n} - \frac{n}{3^n} = \frac{3}{2} - \frac{3 + 2n}{2 \cdot 3^n}
S=32⋅32−32⋅3+2n2⋅3n=94−3(3+2n)4⋅3nS = \frac{3}{2} \cdot \frac{3}{2} - \frac{3}{2} \cdot \frac{3 + 2n}{2 \cdot 3^n} = \frac{9}{4} - \frac{3(3 + 2n)}{4 \cdot 3^n}
S=94−3+2n4⋅3n−1=9⋅3n−1−(3+2n)4⋅3n−1S = \frac{9}{4} - \frac{3 + 2n}{4 \cdot 3^{n-1}} = \frac{9 \cdot 3^{n-1} - (3 + 2n)}{4 \cdot 3^{n-1}}

3. 最終的な答え

S=94−2n+34⋅3n−1S = \frac{9}{4} - \frac{2n+3}{4 \cdot 3^{n-1}}
または、
S=9⋅3n−1−2n−34⋅3n−1S = \frac{9 \cdot 3^{n-1} - 2n - 3}{4 \cdot 3^{n-1}}

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