$y = \sin x$ ( $-\frac{\pi}{2} < x < \frac{\pi}{2}$) の逆関数を $y=f(x)$ とするとき、$f'(x)$ を $x$ の式で表す。 $y = \tan x$ ( $-\frac{\pi}{2} < x < \frac{\pi}{2}$) の逆関数を $y=g(x)$ とするとき、$g'(x)$ を $x$ の式で表す。

1. 問題の内容

$y = \sin x$ ( $-\frac{\pi}{2} < x < \frac{\pi}{2}$) の逆関数を $y=f(x)$ とするとき、$f'(x)$ を $x$ の式で表す。

$y = \tan x$ ( $-\frac{\pi}{2} < x < \frac{\pi}{2}$) の逆関数を $y=g(x)$ とするとき、$g'(x)$ を $x$ の式で表す。

2. 解き方の手順

(1) $y = \sin x$ の逆関数の微分

$y = \sin x$ の逆関数は $x = \arcsin y$ であり、 $y = f(x) = \arcsin x$ である。

$\frac{dx}{dy} = \cos x$

$\frac{dy}{dx} = \frac{1}{\frac{dx}{dy}} = \frac{1}{\cos x}$

$\cos^2 x + \sin^2 x = 1$ より、 $\cos x = \sqrt{1 - \sin^2 x}$ （ $-\frac{\pi}{2} < x < \frac{\pi}{2}$ の範囲で $\cos x > 0$ なので）

$\cos x = \sqrt{1 - y^2}$

したがって、$f'(x) = \frac{1}{\sqrt{1 - x^2}}$

(2) $y = \tan x$ の逆関数の微分

$y = \tan x$ の逆関数は $x = \arctan y$ であり、 $y = g(x) = \arctan x$ である。

$\frac{dx}{dy} = \frac{1}{\cos^2 x} = \sec^2 x = 1 + \tan^2 x = 1 + y^2$

$\frac{dy}{dx} = \frac{1}{\frac{dx}{dy}} = \frac{1}{1 + y^2}$

したがって、$g'(x) = \frac{1}{1 + x^2}$

3. 最終的な答え

$f'(x) = \frac{1}{\sqrt{1 - x^2}}$

$g'(x) = \frac{1}{1 + x^2}$