次の4つの関数を微分せよ。 (1) $y=(1+\frac{1}{x})^2$ (2) $y=(x-\frac{1}{x})^3$ (3) $y=(x+2)^3(2x-1)^4$ (4) $y=\frac{x^2-2x}{(x-1)^2}$

1. 問題の内容

次の4つの関数を微分せよ。

(1) $y=(1+\frac{1}{x})^2$

(2) $y=(x-\frac{1}{x})^3$

(3) $y=(x+2)^3(2x-1)^4$

(4) $y=\frac{x^2-2x}{(x-1)^2}$

2. 解き方の手順

(1) $y=(1+\frac{1}{x})^2$ の微分

合成関数の微分公式を用いる。$u = 1+\frac{1}{x}$ とおくと、$y=u^2$。

$\frac{dy}{dx} = \frac{dy}{du} \cdot \frac{du}{dx}$

$\frac{dy}{du} = 2u = 2(1+\frac{1}{x})$

$\frac{du}{dx} = -\frac{1}{x^2}$

よって、

$\frac{dy}{dx} = 2(1+\frac{1}{x}) (-\frac{1}{x^2}) = -\frac{2}{x^2} - \frac{2}{x^3} = -\frac{2x+2}{x^3}$

(2) $y=(x-\frac{1}{x})^3$ の微分

合成関数の微分公式を用いる。$u = x-\frac{1}{x}$ とおくと、$y=u^3$。

$\frac{dy}{dx} = \frac{dy}{du} \cdot \frac{du}{dx}$

$\frac{dy}{du} = 3u^2 = 3(x-\frac{1}{x})^2$

$\frac{du}{dx} = 1+\frac{1}{x^2}$

よって、

$\frac{dy}{dx} = 3(x-\frac{1}{x})^2 (1+\frac{1}{x^2}) = 3(\frac{x^2-1}{x})^2 (\frac{x^2+1}{x^2}) = 3\frac{(x^2-1)^2(x^2+1)}{x^4}$

(3) $y=(x+2)^3(2x-1)^4$ の微分

積の微分公式を用いる。

$\frac{dy}{dx} = 3(x+2)^2(2x-1)^4 + (x+2)^3 \cdot 4(2x-1)^3 \cdot 2 = 3(x+2)^2(2x-1)^4 + 8(x+2)^3(2x-1)^3 = (x+2)^2(2x-1)^3[3(2x-1)+8(x+2)] = (x+2)^2(2x-1)^3(6x-3+8x+16)=(x+2)^2(2x-1)^3(14x+13)$

(4) $y=\frac{x^2-2x}{(x-1)^2}$ の微分

商の微分公式を用いる。

$\frac{dy}{dx} = \frac{(2x-2)(x-1)^2 - (x^2-2x)2(x-1)}{(x-1)^4} = \frac{(2x-2)(x-1) - 2(x^2-2x)}{(x-1)^3} = \frac{2x^2-4x+2-2x^2+4x}{(x-1)^3} = \frac{2}{(x-1)^3}$

3. 最終的な答え

(1) $\frac{dy}{dx} = -\frac{2x+2}{x^3}$

(2) $\frac{dy}{dx} = 3\frac{(x^2-1)^2(x^2+1)}{x^4}$

(3) $\frac{dy}{dx} = (x+2)^2(2x-1)^3(14x+13)$

(4) $\frac{dy}{dx} = \frac{2}{(x-1)^3}$